可算個の不連続点をもつ関数の多項式近似

質問

可算個の不連続点をもつ関数の多項式近似
閉区間における連続関数は多項式（無限の次数の可能性がありますが）で近似できるという「Weierstrassの近似定理」があります．
そこで，閉区間においてたかだか可算個の不連続点をもつ関数は，「Weierstrassの近似定理」と同様に多項式で近似できるでしょうか？もちろん，不連続点あるいは不連続点近傍での正確さは除いて良いです．
どなたか，解析学が得意な方の回答をお待ちします．

回答No.5

TaskT · ベストアンサー

不連続点の近傍の精度は考えなくて良いなら近似は可能です．
不連続点で値がジャンプしている場合を考えます．
不連続点の近傍の点からジャンプした点に連続関数で結んで，連続関数を作れば良いのです．
それは多項式近似できるので，結局のところ，もとの関数は不連続点の近傍を除いて，多項式近似できます．

お礼

どうもありがとうございました．
単純なことですが，その通りと思います．

回答No.4

alice_44

←No.2 補足
＞ おそらく，下の回答１の場合１を想定しての回答だと思います．

違うよ。
No.1 の 1. のケースなら、不連続点が可算無限だろうが、
連続体濃度だろうが、多項式近似は可能。
穴ぼこを空ける前の f が定義域で連続であり、
そっちの関数に対して Weierstrass の近似多項式が存在するから。

閉区間においてたかだか可算個の不連続点をもつ関数 F が所与として、
F が連続な点 x_i (i=1,2,…,n) を取り、
n 個の点 (x_i, F(x_i)) を通過する m 次多項式 g を考える。
m > n であれば、g を構成することは可能で、これの
m = n+1 の場合である「ラグランジェ補間」は有名。

ただし、
ラグランジェ補間は、フーリエ級数のギブス現象どころの騒ぎではなくて、
n が大きくなるに従い、不連続点周囲ばかりでなく、各データ点の隙間で
激しく増減するようになってしまう。

これを解決するには、n を大きくするに伴って、m をそれより遥かに
大きくしてしまえばいい。n = 100万 に対して m = 1000億 とか、
g の次数をベラボーに大きくする。すると、係数の自由度が増して、
|g'| があまり大きくならないような多項式を見つけることができる。
(証明は、メンドなので、勘弁～。)

このやり方で、不連続点が有限個の場合は対処できる。

No.2 で書いたように、
＞ 不連続点近傍での正確さは除いて良いです
ということであれば、不連続点が集積する点の近傍は、
「不連続点の近傍」と呼べてしまい、近似が正確でなくてもよいことになる。
要するに、それらの近傍を除去した、有限個の不連続点を持つような
制限された定義域で正確な近似ができればよいことになり、
頭記の方法で多項式近似ができる。

お礼

ふたたび，ありがとうございます．
考え方，参考になりました．

回答No.3

noname#221368

#1です。補足の方法で何らかの結果は出ると思いますが、物が物だけに（決しておとなしい関数ではないですよね）、微妙な結果になる気がします。

１．可測か？（いちおう測度論で調べてみて下さい）
　不連続点が可算無限個なので、その全体は測度零集合になり、可測とは思います。

２．可積か？
　可測なら、有界関数の積分なので可積のはずです。

３．でも・・・
　物が物だけに、以下の可能性はあると思います。

(1)微分したベキ級数が収束しない。

(2)収束しても、∑演算と微分演算を交換できない。つまり無限個足してから微分する必要がある（現実には不可能）。

(3)それでも有限項で打ち切って、微分して結果を出した。この場合、フーリエ級数のギブス現象のような事が起こる可能性はあります。原因は(2)です。
　ギブス現象の場合、どう頑張っても不連続値の平均に収束させる事はできません。鋭い傾きで、そこを通るようにはなりますが、その直前（直後）のピークは、不連続値のルート2倍に収束しようとします。またピーク点は、不連続点へ限りなく近づきます。

　たぶんこれ以上は、関数を具体的に定義しないとやりようがない気がします。

お礼

再び，どうもありがとうございます．
積分値を多項式である精度で近似できたとしても，それを微分した関数が精度を保っているとは限らないということに気付きました．
思慮不足です．
いろいろ情報をありがとうございます．

回答No.2

alice_44

多項式近似は、不連続点が有限個なら、不連続点での不正確さを除けば可能。
不連続点が可算個だと、不連続点が集積する点の近傍では、近似可能とは限らない。
「不連続点近傍での正確さは除いて良い」としてしまうと、
集積点の近傍が、不連続点ごとまとめて除外できてしまうから、
上記の差が出なくなって、多項式近似可能ということになるが…

お礼

どうもありがとうございます．
おそらく，下の回答１の場合１を想定しての回答だと思います．
確かにこの場合，近似可能と思われます．
ただ，不連続でも値がジャンプするような場合はどうでしょうか？

回答No.1

noname#221368

面白そうなので、考えてみました。次に述べる最初のケースを除いては、予想です。なおすべて一様連続関数で考えます。

１．最初のケース
　定義域の閉区間をＡとします。一番簡単なケースは、一様連続関数f：Ａ→Ｒがあり、Ａの密集合Ｂがあって、Ａに関するＢの補集合上で、fに無数の穴ぼこが開いているケースだと思います。例えば、Ｂ⊂Ａとして、Ａの有理数全体を取る事が出来ます。fをＢに制限した関数を、g：Ｂ→Ｒと書きます。
　この場合fは、連続無限個の点で不連続になりますが、Ｂ上でgに一致し、Ａで連続な関数は一意に定まります（等式延長の原理。つまりf）。またfがＡで一様連続なので、gもＢで一様連続です。
　逆にgがＢで一様連続なら、Ｂでgに一致しＡで連続なfは、一意に定める事が可能です（一様連続関数に関する連続延長の定理）。従ってこのケースでは、収束半径内で、gの多項式近似は可能と思えます。

　連続無限個の不連続でも大丈夫なので、可算無限の不連続なんて、へっちゃらだという訳です。実際こうやって、有理数範囲で定義された初等関数を、実数範囲まで延長しますよね？。

２．でもそうではないですよね
　でも仰りたい事は、可算無限個の点で、値がジャンプする場合ですよね？。こっからは予想です。まず閉区間ＡをＡ＝[0，a]，a＜1とします。次にベキ級数でなく、フーリエ級数を考えます。

　区分的に一様連続な関数に関してフーリエ級数は、不連続点で不連続値の平均に収束します。また、有界だがいたるところ不連続な関数のフーリエ級数も、パーゼブルの不等式より必ず収束します。
　なので、可算無限個の点で不連続な連続関数（って言い方も変ですが・・・）のフーリエ級数は、その関数の局所平均へ、連続関数として収束する気がします。

　一方、Ａ＝[0，a]，a＜1としたので、ベキ級数はこの範囲で、概ね収束するはずです。で、収束すれば、ベキ級数もフーリエ級数も、連続関数に関する完全系です。すなわち、両者は同じ性能を持つはずです。よって、ベキ級数を用いても、可算無限個の点で不連続な関数の局所平均へ、連続関数として収束するような気がします（するだけです）。
　いまＡ＝[0，a]，a＜1としましたが、Ａを適当に引き伸ばして（圧縮して）平行移動すれば、任意の閉区間でも今の話は成り立つはずです。

　以上を、可算無限個の点で不連続な関数の近似と言えるかどうかは、異論多ありだとは思いますが、こんな状況を想像しました。また有限項で打ち切ったフーリエ級数は不連続点で、ギブス現象により、不連続値のルート2倍に近づくので（一様収束でないから）、ベキ級数であろうとフーリエ級数であろうと、実用的なものにはならないと思います。

　・・・限界です・・・^^。

お礼

初めての質問で，答えが返ってくるか不安だったのですが，丁寧にありがとうございます．
ご推察の通り，私が想定しているのは，２の値がジャンプする場合です．
フーリエ級数に関する情報は参考になりました．

補足

ちょっと，考えてみたのですが，
２のような不連続関数でも閉区間の任意の区間で積分することは可能なはずです．
積分区間をずらしていって（広げていって）得られる積分値は，連続に変化するため，これは多項式近似できるはずです．
そうして得られた多項式を微分すると，元の不連続関数を近似する多項式になっていないでしょうか？