数学の質問いいですか？？

質問

x,yの動く範囲を0≦x≦2π、0≦y≦2πとするとき、
不等式sinx+siny≧cosx+cosyの表す領域を平面上に図式せよ。

問題集の問題なのですが、
解説がないので分からないです
回答よろしくお願いします。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

sin(x)+sin(y)≧cos(x)+cos(y)
sin(x)-cos(x)≧cos(y)-sin(y)

三角関数の合成公式を使って

(√2)sin(x-π/4)≧-(√2)sin(y-π/4)
sin(x-π/4)+sin(y-π/4)≧0

三角関数の和積の公式を使って

2sin((x+y-π/2)/2)cos((x-y)/2)≧0

0≦x≦2π、0≦y≦2πより

不等式を満たす (x,y ) の領域は添付図の斜線の領域(A), (B), (C)を合わせた領域（境界線含む）のようになる。
すなわち
（答）
（A） -x+π/2≦y≦-x+5π/2 かつ x-π≦y≦x+πかつ 0≦x　かつ 0≦y
または
（B） y≧x+πかつ y≧-x+5π/2 かつ y≦2π
または
（C） -x+5π/2≦y≦x-πかつ x≦2π

お礼

一番わかりやすかったので、ベストアンサーに選ばせていただきました
ありがとうございました

回答No.2

shuu_01

あれ、まだ回答がない？

sin x ＋ sin y　≧　cos x ＋ cos y

sin x － cos x ≧ －sin y ＋ cos y

sin x ・（1/√2）－ cos x・（1/√2） ≧ －sin y・（1/√2） ＋ cos y・（1/√2）

sin（x － π/4） ≧ －sin（y － π/4）

sin（x －　π/4） ≧ sin（y ＋ （3/4）π）

z ＝ sin（x －　（1/4）π） 　および　z ＝ sin（y ＋ （3/4）π）

のグラフを考えると、

－（1/4）π ≦ x ≦ （3/4）π の範囲のグラフと

（3/4）π≦ y ≦ （7/4） π の範囲のグラフ が同じ形をしており、

傾きが正（プラス） ＝ 右肩上がりのグラフですので、

上記の範囲では　y ≦ x ＋ π　の時、不等式を満たします

－（1/4）π ≦ x ≦ （3/4）π の範囲 のグラフと
（7/4）π ≦ x ≦ （11/4）π の範囲のグラフは同じ形なので

その範囲では　y ≦ x － π　の時、不等式を満たします

z ＝ sin（x －　（1/4）π）　のグラフは　
x ＝（3/4）π　の直線について、左右対称

z ＝ sin（y ＋ （3/4）π）　のグラフも
y ＝ （3/4）π　の直線について、左右対称

であることを考えると、x-y 座標上で不等式を満たす範囲を描けます

お礼

グラフまでつけていただいてありがとうございました!!!

回答No.1

shuu_01

sin x － cos x ≧ cos y － sin y

として、三角関数の加法定理でまとめたら？
僕はこの後、飲み会で解いてる時間ありませんが

お礼

回答ありがとうございました