sinx=sinyの一般解

質問

整数nを用いて
sinx=sinyの一般解
x=πn+(-1)^n・y

や

cosx=cosyの一般解
x=2πｎ±y

はどのようしてに導かれたものでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは、

　これは単位円で考えるのです。

　ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｙ　の場合、（下の図　左）

　　単位円でsinyの値のy座標になるのは、図のA,またはBの点に対応する角です。

　ｙのほうがわかっているとして、図のBの対する角、（BOとｘ軸の作る角をｙとしましょう。

　　すると点Aに対する角は、πーｙですね。

　これを　ｘ　から見れば、ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｙとなるのは、値は同じなのですから、点ＡまたはＢのいずれかになります。

　一般角で考えると、ｘ軸の正方向は、２ｍπ、ｘ軸の負方向の核は、（２ｍ＋１）πですから、

　ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｙ　となる角は、ｘ＝２ｍπ＋ｙ　or　ｘ＝(２m+１)πーｙ

　　となります。＋ｙのときはπの偶数倍、－ｙのときはπの奇数倍ですから、

　　ｎが偶数のとき＋１、奇数のときー１になる（－１）＾ｎを使えば、

　　　この２つは、統一した書き方　ｘ＝ｎπ＋（－１）＾ｎ倍のｙ　となるわけです。

　cosx=cosy　のときも同じ考えです。

　（下の図　右）

　　単位円で　cosy　となる値のところを　x軸に取りますと、値が　ｃｏｓｙになる角は、点Ｃと点Ｄに対応する角です。

　　この角は、　-πから＋πまでの一周だけだと、＋ｙ　と　－ｙ　だけですが

　　一般解は、２ｎπ＋ｙ　と　２ｎπーｙになります。

　　　ｘ＝２ｎπ＋またはーのｙ　となるわけです。

　三角方程式は、単位円を使って解きましょう。

　以上です。

お礼

ありがとうございました！

補足

答えてくださった方ありがとうございます。
ベストアンサーに悩んだのですが自分の考えに一番あてはまったものを選ばせていただきました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

ereserve67

和積の公式です．

(1)sinx-siny=2cos{(x+y)/2}sin{(x-y)/2}

(2)cosx-cosy=-2sin{(x+y)/2}sin{(x-y)/2}

sinx=sinyは(1)より

cos{(x+y)/2}=0またはsin{(x-y)/2}=0

(x+y)/2=π/2+kπまたは(x-y)/2=lπ（k，lは整数）

x=(2k+1)π-yまたはx=2lπ+y

これは次のようにもかけます．-1=(-1)^{2k+1},1=(-1)^{2l}から

x=(2k+1)π+(-1)^{2k+1}yまたはx=2lπ+(-1)^2ly

奇数2k+1または偶数2lで任意の整数nを表すので一つの式で

x=nπ+(-1)^ny

としてもよいのです．

cosx=cosyは(2)より

sin{(x+y)/2}=0またはsin{(x-y)/2}=0

(x+y)/2=kπまたは(x-y)/2=lπ（k，lは整数）

x=2kπ-yまたはx=2lπ+y

これらをまとめてnを整数として

x=2nπ±y

となるわけです．

お礼

納得しました！ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

移行した後、和積公式を用いることで、
積＝ 0の形に変形します。

お礼

ありがとうございまさいた。