三角比の問題

質問

tanx+tany=1,tanx・tany=-6とする。
ただし、0≦x＜９０°、９０°＜ｙ≦１８０°
1)sinx
2)cosx
3)siny
4)cosy

こういう問題もあるんだ～なんて関心してしましました。
レベルとしては標準クラスなのでしょうか？応用クラスなのでしょうか？

解説も添えて答えて戴きたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

極めて、基本的問題。
和と積が解ってるんだから、解と係数が使える。

tanx+tany=1,tanx・tany=-6　だから、tanxとtanyは t＾2-t-6＝(t-3)*(t＋2)＝0の解。
0≦x＜90°、90°＜ｙ≦180°　より、tanx≧0、tany＜0だから、tanx＝3、tany＝-2
1＋tan＾2x＝1/cos＾2x　を使い、0≦x＜90°　に注意すると、sinx、cosx　は自動的に出る。
siny、cosy　も同じにやると良い。

お礼

ありがとうございました。いろいろな解き方で数学を楽しめるようになれたらいいな～と思います。

回答No.4

sanori

Ｎｏ．２の回答者です。
解いてませんが、Ｎｏ．３さんの考え方が正しいように思います。

回答No.2

sanori

こんにちは。

tanθ　＝　sinθ／cosθ　なので問題文より
sinｘ／cosｘ　＋　sinｙ／cosｙ　＝　１　　・・・（あ）
（sinｘ／cosｘ）（sinｙ／cosｙ）　＝　－６　　・・・（い）

また、
０≦ｘ＜９０°なので、
０　≦　sinｘ　＜　１　　・・・（う）
０　＜　cosｘ　≦　１　　・・・（え）

また、
９０°＜ｙ≦１８０°　なので、
－１　≦　cosｙ　≦　０　　・・・（お）

また、三平方の定理により
（sinθ）^2　＋　（cosθ）^2　＝　１　なので
（sinｘ）^2　＋　（cosｘ）^2　＝　１　　・・・（か）
（sinｙ）^2　＋　（cosｙ）^2　＝　１　　・・・（き）

以上のことを使えば解けるはずです。
つまり、
ａ／Ａ　＋　ｂ／Ｂ　＝　１　　・・・（あ）
（ａ／Ａ）（ｂ／Ｂ）　＝　－６　　・・・（い）
０　≦　ａ　＜　１　　・・・（う）
０　＜　Ａ　≦　１　　・・・（え）
－１　≦　Ｂ　≦　０　　・・・（お）
ａ^2　＋　Ａ^2　＝　１　　・・・（か）
ｂ^2　＋　Ｂ^2　＝　１　　・・・（き）
という式から、ａ、Ａ、ｂ、Ｂを求めるということです。

＞＞＞レベルとしては標準クラスなのでしょうか？応用クラスなのでしょうか？

たぶん、標準クラスより少し下だと思います。
計算が面倒くさいだけだと思います。

お礼

ありがとうございました。僕にもわかる理解できる解法で、とても参考になりました。

回答No.1

pascal3

標準クラスとか応用クラスとかいう意味はよく分かりませんが、
複数の知識を組み合わせて使うべき問題である、とは言えるでしょうね。

鍵となる知識その１は
「ふたつの数の和と積が与えられたらそれらの数が決定できる」
という事実です。
2次方程式の解の公式を使ってもいいし、
(α－β)^2 = (α＋β)^2 － 4 αβ
を使ってもいいです（同じことですが）。
今の場合
(tan y － tan x)^2 = 1 － 4×(－6) = 25
から tan x と tan y の差（の絶対値）が決まり、
和は既に決まっているので tan x と tan y が分かります。

ただし、どっちがどっちかは、まだ分からないので、
ここで知識その2が必要になります。
「角の象限によって sin, cos, tan の符号が決まる」
これによって結果を絞りこみます。

最後に
「tan の値が分かれば cos^2 や sin^2 の値が分かる」
要するに三平方の定理を sin, cos, tan であらわした公式があるので、
それが即座に出てくるかどうかです。

以上、3つの知識を組み合わせて使えるかどうかを問う問題だと思います。

お礼

ありがとうございました。いろいろな考えかたがあって非常に興味深いです。