数学です。至急お願いします!!!

質問

x,yの動く範囲を0≦x≦2π、0≦y≦2πとするとき、
不等式sinx+siny≧cosx+cosyの表す領域を平面上に図式せよ。

受験スタンダード問題なのですが、
解説がないので分からないです
回答よろしくお願いします。

回答No.4

shuu_01 · ベストアンサー

＞　場合分けの範囲がなぜそのようになるのか教えてもらえますか？？

わかりにくい回答で申し訳ないです
細かく場合分けするより、はしょった方がわかりやすかったかもです

まず、
z ＝ sin（x － π/4）
z ＝ sin（y ＋ 3π/4）　のグラフを描いてみました

－π/4 ≦ x ≦ 3π/4 の範囲と
　3π/4 ≦ y ≦ 7π/4 の範囲のグラフは右肩上がりで、形がまったく
一致しています

この範囲であれば、z ＝ sin（x －π/4） を右方向に π/4
平行移動したグラフと z ＝ sin（y　＋ 3π/4）　を －3π/4 平行移動
したグラフが一致するので、

x ＋ π/4 ≧　y － 3π/4 であれば、
sin（x －　π/4） ≧ sin（y ＋ （3/4）π） となります

これが左側の赤い範囲です

z ＝ sin（x － π/4） のグラフは

－π/4 ≦ x ≦ 3π/4 の範囲と 7π/4 ≦ x ≦ 11π/4 の範囲で
形が等しいです

そこで、左側の赤い範囲を右に 2π 平行移動した範囲も不等式が
成り立ちます

－π/4 ≦ x ≦ 3π/4 の範囲と 3π/4 ≦ x ≦ 7π/4 の範囲では
左右対称です

そこで、赤い範囲を反転させ、3π/4 ≦ x ≦ 7π/4 の範囲に置いた
のがピンク色の範囲です

次いで、y に関しても

－π/4 ≦ y ≦ 3π/4 の範囲と 3π/4 ≦ y ≦ 7π/4 の範囲では
左右対称です

そこで、左側の赤い範囲を上下反転して、－π/4 ≦ y ≦ 3π/4 の範囲
に重ねたのが 青い範囲です

以上の考え方で、反転させたり、平行移動させてると不等式の成り立つ
範囲がわかり、0 ≦ x ≦ 2π、0 ≦ y ≦ 2π の範囲に斜線を引いたり、
塗りつぶせば答えが出ます

PS： 教科書とか問題集の解答にない考え方でごめんなさい
　　　でも、僕にとって１番 楽な方法でした

回答No.3

shuu_01

要望に応え、はしょり過ぎないで解答してみましたが、面倒臭いです

はしょった方がわかりやすかったかも（汗）

sin x ＋ sin y　≧　cos x ＋ cos y

sin x － cos x ≧ －sin y ＋ cos y

sin x ・（1/√2）－ cos x・（1/√2） ≧ －sin y・（1/√2） ＋ cos y・（1/√2）

sin（x － π/4） ≧ －sin（y － π/4）

sin（x －　π/4） ≧ sin（y ＋ （3/4）π）

z ＝ sin（x －　（1/4）π） 　および　z ＝ sin（y ＋ （3/4）π）

のグラフを考えると、

（１）－（1/4）π ≦ x ≦ （3/4）π
　　　　（3/4）π ≦ y ≦ （7/4）π　の範囲で、

　　　まったく同じ形をしており、傾きが常に正（プラス）
　　　つまり、右肩上がりのグラフです
　　　この範囲では　y ≦ x ＋ π　の時、不等式を満たします
　　　（図、左側の赤い部分）

（２）～（８）は （１）と平行移動あるいは
　左右対称、上下対称、左右上下対称の範囲になります

（２）（１）と同様に

　　　　 （7/4）π ≦ x ≦ （11/4）π
　　　　 （3/4）π ≦ y ≦ （7/4）π　の範囲でも、
　　　まったく同じ形をしており、
　　　この範囲では　y ≦ x － π　の時、不等式を満たします
　　　（図、右側の赤い部分）　

（３）－（1/4）π ≦ x ≦ （3/4）π
　　　－（1/4）π ≦ ｙ≦ （3/4）π　の範囲で、

　　　z ＝ sin（x －　（1/4）π）と　z ＝ sin（y ＋ （3/4）π）
　　　のグラフは左右対称のグラフです
　　　この範囲で、－y ≦ x－（1/2）π
　　　（図、左下側の青い部分）　

（４）（３）と同様に

　　　　（7/4）π ≦ x ≦ （11/4）π
　　　－（1/4）π ≦ ｙ≦ （3/4）π　の範囲で、

　　　この範囲で、－y ≦ x－（5/2）π
　　　（図、右下側の青い部分）　

（５）（３）と同様に

　　　－（1/4）π ≦ x ≦ （3/4）π
　　　　（7/4）π ≦ y ≦ （11/4）π　の範囲で、

　　　この範囲で、－y ≦ x－（5/2）π
　　　（図、左上側の青い部分）　

（６）（3/4）π ≦ x ≦ （7/4）π
　　　（3/4）π ≦ y ≦ （7/4）π　の範囲で、

　　　この範囲で、y ≦ －x＋（5/2）π
　　　（図、ピンク色の部分）　

（７）（3/4）π ≦ x ≦ （7/4）π
　　－（1/4）π ≦ y ≦ （3/4）π　の範囲で、

　　　この範囲で、y ≧ x－π
　　　（図、下側の緑の部分）　

（８）（3/4）π ≦ x ≦ （7/4）π
　　　（7/4）π ≦ y ≦ （11/4）πの範囲で、

　　　この範囲で、y ≧ x＋π
　　　（図、上側の緑の部分）

補足

回答ありがとうございます!!!
場合分けの範囲がなぜそのようになるのか教えてもらえますか？？

回答No.2

shuu_01

No.1 さんの回答どおり、既出問題です

ベストアンサーは和積の公式使ってますが、そんなもの覚えてない僕の回答もありますよ

はしょり過ぎてて、わかりにくいかもしれないけど

やっぱ、はしょり過ぎたかなぁ（汗）

補足

回答見させてもらいました！！
もうすこし解説してくれるとありがたいです。

回答No.1

info222_

同じ質問で解答済みです。(ベストアンサーがついています)

http://okwave.jp/qa/q8544184.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q8544184.html