急ぎで・・・

質問

aとbは±1、0でない実数とする。x、yがsinx/siny＝a、cosx/cosy＝bを満たしているとする。
1、tan^2y(tan二乗y)をa、bを用いて表せ。
2、点(a,b)の存在する範囲をab平面に図示せよ。(これはaとbの関係式を教えてください)

解いたところ、1番はtanxがある式ですがいいと思いますか？

回答No.3

Umada · ベストアンサー

1.ですが、このような場合はx, yが残らない式が要求されていると解釈するのが普通です。従ってtan xが入っている式もまだ不十分ということになります。特にこの問題の場合、次の設問でa, bの取りうる範囲を図示させようとしているわけですからx, yが残ったままだと困ってしまいます。

1.　多少強引にでもx, yを含まない式にしてしまいます。
与えられたa, bについての関係式をsin x, cos xの形に書き直し、自乗和=1の式を作ると
a^2 sin^2 y+b^2 cos^2 y=1　　(1)
を得ます。これを
tan^2 y=sin^2 y/cos^2 y　　(2)
に代入します。(もちろん、 sin^2 y+cos^2 y=1を使います)
すると
tan^2 y=(b^2-1)/(1-a^2)　　(3)
となります。(a=bあるいはa=-bとなる場合を除く。これは、(3)を求める過程で(a-b)(a+b)で割る部分があるため)
ではa=bあるいはa=-bの場合はどうか?
これは(1)を考察することで除かれます。もしa=bなら(1)でsin^2 y+cos^2 y=1/a^2となりますのでa=b=±1が要求されますが、これは問題で与えられた条件で除外されていますからa=bは起こり得ません。a=-bでも同様です。
従ってtan^2 yの値は、結局(3)でよいことになります。

2.　正接(tan)はsinやcosと違って変域が制限されていません。しかし(3)のように書いた場合、tan^2 yですから(3)が負の値をとってしまうとそのようなyは存在しないことになります。(必要条件)
そのためには(b^2-1), (1-a^2)の双方が同時に正、または双方が同時に負であることが必要十分です。図示すると下のようになります。(■が含まれる領域、□が含まれない領域)

□□■■□□
□□■■□□b=1
■■□□■■
■■□□■■b=-1
□□■■□□
□□■■□□
　 -1　1　→a

境界は含まない(a,bは±1を取らないため)

これは必要条件だけですので、今度は■の領域であれば題意を満たすx, yが存在するかどうか考えてみます。(十分条件の検討)
1+tan^2 y=1/cos^2 y
は常に成り立ちますので、非負の値tan^2 yが存在すればcos^2 yの値も存在することになります。(同時にsin^2 yの存在も保証される)　従って■の領域ならcos y, sin yの値は存在することになります。
次にsin xやcos xも存在するかどうか調べます。sin^2 y+con^2 y=1をxの式に書き直すと
sin^2 x=a^2(b^2-1)/(b^2-a^2)　　(4)
と求まります。(4)の値が0以上1以下ならそのようなsin xは確かに存在します。
|a|と|b|の大小に気を付けて不等式を解くと、
|a|<|b|のとき　|a|≦1ならば(4)≦1　　(5a)
|a|>|b|のとき　|a|≧1ならば(4)≦1　　(5b)
となります。上の図を注意深く見ると、■の領域であれば(5a)(5b)を満たしていることが分かります。

従って、上の図で■で表示した部分が解ということになります。

*計算を間違えているかも知れません、途中の式などチェックしながら読んで頂ければ幸いです。

お礼

サインとコサインの関係式にたどり着けなくて悩んでいました。
サインY、コサインYから出そうとしてしまったようです・・・。
図も丁寧にありがとうございます。

回答No.4

kony0

ぎゃー三角比が逆になってしまいました！御免なさい。。。
AC/AB=a, BH/CH=b/a となります。AB=m, AC=am, BH=bn, CH=anとなり、
途中の垂線について立式したのはそのまま使えて、
(tany)^2 = (h/an)^2です。答えはwogotaさんの通りです。。。

回答No.2

kony0

１番だけを、中学生的に答えだけ出してみます。

△ABCでAからBCにおろした垂線の足をHとする。角B=x, 角C=yとする。条件式から
(AB/AH)/(AC/AH)=aよりAB/AC=a。よってAB=am, AC=mとおける。
(AB/BH)/(AC/CH)=bと上の式よりCH/BH=b/a。よってBH=an, CH=bnとおける。
ここでAH=hとすると、(am)^2-(an)^2=m^2-(bn)^2=h^2

ここまでで、とりあえずsin,cosは直角三角形の辺の比だから、x,yの角度を持つ直角三角形を作るという発想から垂線をおろしてみました。決して無理な発想ではないはずですが。。。自分が高校生のときには絶対思いつかなかった発想でもあります。(^^;)とりあえずごりごり式変形しようとしていたはず。。。

で、ここからは式の計算の問題。いま未知数m,n,hに対して等式２つ。求めるのは(h/bn)^2だから、nとhのそれぞれをaとbを用いて表す、そのためにmを消すという発想が出てくるはずですから、その方針でmを消すとa^2(b^2-1)n^2 = (a^2-1)h^2という式が導けます。よって、
(tan y)^2 = (h/bn)^2 = {a^2(b^2-1)} / {b^2(a^2-1)}

ここで、xまたはyが鈍角のとき、すなわちbが負のときの議論ですが、これはxかyのどちらかが鈍角であるが故に、Hは辺BCを外分する位置に来ることと対応します。どちらにせよ２乗の値を議論するので、大して問題にならないと思いますが。（aは必ず正の値をとるので、議論の必要性なし）

ちなみに、tanxを含む式が出てる場合、そこまで来てるのならばあとは条件式２つを辺々割ると、tanx/tany=a/bが出るので、それからtanxを消去してtanyをa,bだけで表すことができると思いますよ。

お礼

図から考えるという方法は確かに良いかもしれません。
一つ良い勉強になりました。

回答No.1

wogota

1.についてのみ答えてみます。

tan^2 y=(sin^2 y)/(cos^2 y)=1/(cos^2 y) - 1

また、sin x= a sin y, cos x= b cos y なので、
sin^2 x + cos^2 x = a^2 sin^2 y + b^2 cos^2 y として、
1 = a^2 + (b^2 - a^2)cos^2 y と変形できます。

これを変形して、1/(cos^2 y) = (b^2 - a^2)/(1 - a^2) になります。

よって、 tan^2 y = (b^2 - 1)/(1- a^2) となります。

お礼

簡潔な回答ありがとうございます。
回答2行目の様に変形をすればよかったのですが、私はどうも残す方を主体に考えすぎていました。