数学の質問いいですか？

質問

ax^2-xy-y^2+10x+2y+8=0(a≠0)が2直線を表すとする。
(1)aの値を求めよ
(2)この2直線と点A(0,2)を通る直線lとで囲まれた図形の面積が18であるとき、直線lの方程式を求めよ

この問題がちんぷんかんぷんなので
詳しく教えてください!!!
回答よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(1)aの値を求めよ
＞二直線をy=cx+d、y=ex+fとすると、
y-cx-d=0、y-ex-f=0だから左辺の積
(y-cx-d)(y-ex-f)=cex^2-(c+e)xy+y^2+(cf+de)x-(f+d)y+dfが
与式の左辺と等しくなるようにaを決めればよいので、y^2の
係数が-1になるように二直線の積に-1をかけて
ax^2-xy-y^2+10x+2y+8=-cex^2+(c+e)xy-y^2-(cf+de)x+(f+d)y-df
係数を比較して
a=-ce、-1=c+e、10=-(cf+de)、2=f+d、8=-df、後の4式を解いて
-8/d=f、d^2-2d-8=(d-4)(d+2)=0、(d,f)=(4,-2)、(d,f)=(-2,4)
e=-1-c、c=(10-d)/(d-f)、(c,e)=(1,-2)、(c,e)=(-2,1)
よって、a=-ce=2・・・答
(2)この2直線と点A(0,2)を通る直線lとで囲まれた図形の面積が18であるとき、直線lの方程式を求めよ
2直線はy=x+4、y=-2x-2、この2直線の交点はx+4=-2x-2からx=-2、y=x+4=2
すなわちこれらの2直線は点(-2,2)で交差するので、3直線で出来る
三角形の面積は、底辺の長さが2の二つの三角形の面積の和で計算
出来る。
直線lをy=sx+2としてy=x+4との交点を求めると
x+4=sx+2からx=2/(s-1)、x=2/(s-1)、y=x+4=(4s-2)/(s-1)
直線lが2直線と交わるためにはs＜-2又は1＜sだから(4s-2)/(s-1)＞2、
従って一つの三角形の面積は(1/2)*2*{(4s-2)/(s-1)-2}=2s/(s-1)
直線lとy=-2x-2との交点はsx+2=-2x-2からx=-4/(s+2)、y=(4-2s)/(s+2)
上記のsの条件からy=(4-2s)/(s+2)＜2。よってもう一つの三角形の
面積は(1/2)*2*{2-(4-2s)/(s+2)}=4s/(s+2)
以上から2直線と点A(0,2)を通る直線lとで囲まれた図形の面積は
2s/(s-1)+4s/(s+2)。これが=18だから2s/(s-1)+4s/(s+2)=18、整理して
2s^2+3s-6=0、これを解いてs=(-3±√57)/4となり、これらのsの値は
両方ともs＜-2又は1＜sを満たすので、直線lの方程式は
y=(-3+√57)x/4+2又はy=(-3-√57)x/4+2・・・答

回答No.4

shuu_01

No.2、No.3 さんと（１）の答えは ２ で同じです
No.2 さんの （２）の答えは１つ、No.3 さんの答えは２つと違い、
僕はなんと４つになってしまいましたｗｗｗ

（１）
ax^2-xy-y^2+10x+2y+8=0(a≠0)　を　y について整理し、

y^2＋（xー2）y ーax^2ー10xー8 ＝ 0

｛y ＋（xー2）/2｝^2＝（a＋1/4）x^2＋9x＋9

y ＝ ー（xー2）/2 ±√｛（a＋1/4）x^2＋9x＋9｝

これが直線となるのは、√｛（a＋1/4）x^2＋9x＋9｝が
x の一次式になることですので、（a＋1/4）x^2＋9x＋9
（3/2）x＋3｝^2　の時で、係数を比較し、
9/4 ＝ a ＋ 1/4
【答え】　a ＝ 2

（２）
a ＝ 2 を代入し、
y ＝ ー（xー2）/2 ±（3/2）x＋3｝
±がプラスの時　y ＝ x＋4　　　(1)
±がマイナスの時　y ＝ ー2xー2　　　(2)

点 A（0, 2） を通る直線は y軸に平行とすると
三角形の面積 （1/2）2・（4 ＋2）＝ 6 ですので、
面積 18 にならず、求める直線は
y ＝ kx＋2 とおきます　　　(3)

(1) と (2) の交点を計算すると　（ー2, 2）です
(1) と (3) の交点を計算すると　（2/（kー1）,　2/（kー1）＋4）
(2) と (3) の交点を計算すると　（ー4/（k＋2）, 　8/（k＋2）ー2）

上記の３点を x軸方向に 2、y軸方向に ー2 平行移動すると、各々

（0, 0）
（2/（kー1）＋2,　2/（kー1）＋2）
（ー4/（k＋2）＋2,　8/（k＋2）ー4）

整理すると

（0, 0）
（2k/（kー1）,　2k/（kー1））
（2k/（k＋2）,　ー4/（k＋2) ）

原点を通る３角形の面積 S は

S ＝ （1/2）｜2k/（kー1）・（ー4/（k＋2)）ー2k/（kー1）・（2k/（k＋2）｜
　＝ ｜ー6k^2/（ｋ－1）（k＋2）｜

この面積が 18 ですので

｜ー6k^2/（ｋ－1）（k＋2）｜＝ 18
｜k^2/（ｋ－1）（k＋2）｜＝ 3

k^2/（ｋ－1）（k＋2）＝ 3 を解いて、k ＝ （ー3±√57）/4
k^2/（ｋ－1）（k＋2）＝ ー3 を解いて、k ＝ （ー3±√105）/8

【答え】
求める直線の方程式は
y ＝ ｛（ー3±√57）/4｝x ＋ 2
y ＝ ｛（ー3±√105）/8｝x ＋ 2

回答No.2

spring135

ax^2-xy-y^2+10x+2y+8=0(a≠0) (1)

が2直線を表すとする。

(1)aの値を求めよ

(1)をyに関する２次方程式とみると

y^2+(x-2)y-(ax^2+10x+8)=0

これをyについて解いたとき

2y=-(x-2)±√D 　　　(2)

D=(x-2)^2+4(ax^2+10x+8)　　　　(3)

(2)が２直線になるためには(3)が

D=(px+q)^2=p^2x^2+2pqx+q^2　　　　(4)

(3)は

D=(1+4a)x^2+36x+36

(4)と比較して

1+4a=p^2 (5)

pq=18　　　(6)

q^2=36　　　(7)

(7)よりq=±６

(6)よりp=±3

(5)よりa=2

この時(1)は(2)を用いて

2y=-(x-2)±(3x+6)

y=x+4　　　　(6)

または

y=-2x-2　　　(7)

すなわちy-x-4=0またはy+2x+2=0

これらを掛け合わせた

(y-x-4)(y+2x+2)=0

は(1)にa=2を代入したものに一致する。

(2)この2直線と点A(0,2)を通る直線lとで囲まれた図形の面積が18であるとき、直線lの方程式を求めよ

この2直線とは(6)、(7)である。

直線l：y=cx+2

lと(6)の交点Bは（2/(c-1),2/(c-1)+2)

(6)、(7)の交点Cは（－２，２)

lと(7)の交点Dは（-4/(c+2),-2(c-2)/(c+2))

Cとlの距離ｈは

h=|2+2c-2|/√(c^2+1)=2|c|/√(c^2+1)

BD^2=[2/(c-1)+4/(c+2)]^2+[(4c-2)/(c-1)+(2c-4)/(c+2)]^2

=36c^2(c^2+1)/[(c-1)^2(c+2)^2]

⊿BCD=h*BD/2=[2|c|/√(c^2+1)][6|c|√(c^2+1)/|(c-1)(c+2)|/2=6c^2/|(c-1)(c+2)|=18

c^2=3|(c-1)(c+2)|

⊿BCDができるためにはc>1 またはc<-2よって

c^2=3(c-1)(c+2)

2c^2+3c-6=0

c=(-3±√57)/4

c>1 またはc<-2となるのは

c=(√57-3)/4

回答No.1

asuncion

(rx + sy + t)(ux + vy + w) = 0
を展開して、もとの式と
係数が同じになるよう、
r～w
を計算すればいいような気がします。