病的関数について

質問

ウィリアム・ダンハム著，一樂重雄・實川敏明訳「微積分名作ギャラリー」の中に、ワイエルシュトラスの関数が出てきて、すべての点で連続、かつすべての点で微分不可能の証明があり、へーと思いながら証明を追っていきました。（完全に理解できているとは言えず、現在勉強中です）

Ｗｉｋｉｐｅｄｉａでは”(病的な関数は）数学者によってでさえも比較的わずかな研究しかなされておらず・・・”とあり、この手の関数について、載っている本などご教授お願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2へのコメントについてです。

> 何を読めばいいのかなぁ・・・。

　「病的関数」で一括り、ということはあんまりなさそうで、いろいろ流して乱読した上で興味を絞るのが良いと思いますが、ガタガタの関数に興味をお持ちなら、まずはフラクタル幾何学を覗いてみちゃどうでしょう。応用に近いところでは、カオスの理論、離散系との関係で差分方程式（超離散化とか）、確率微分方程式という方向もある。
　一方、「病的」の方に重きがあるのなら、それは、数学の基礎に近い所の定義がどうも直感としっくり来ない、という部分があからさまになった現象、と言えましょう。なので「存在定理」と関係の深い選択公理に絡んで、ベール空間、非可測集合とか（可測集合にだってすごく変なのも）、バナッハ・タルスキーの定理とか、直感に反するモノがいろいろあります。また、計算の理論とか超数学の周辺や様相論理にも、一見ホンマカイナというのが出てくる気がします。

お礼

丁寧な書き込みありがとうございます。

＞　一方、「病的」の方に重きがあるのなら、それは、数学の基礎に近い所の定義がどうも直感としっくり来ない、という部分があからさまになった現象、と言えましょう。

というところが特に響きました。
非可測集合などを調べてみます。

回答No.2

stomachman

たとえば、
　0≦x＜1の範囲において、関数f(x)を
(1) f(0)=f(1)=0
(2) y=f(x)のグラフが連続な折れ線（線分を継ぎ目で繋いだもの）であって、
(3) 継ぎ目はx=k[j] (j=1,2,…,N-1) (N＞1)の所にあって、ただし、0=k[0]<k[1]<k[2]<…<k[N-1]<k[N]=1 である
(4) どの継ぎ目の前後でも折れ線の傾きが異なる
を満たす勝手な関数とします。そして、
　　f(0,x) = f(x)
　　f(n+1,x) = f(x) + f(n,(x-k[j])/(k[j+1]-k[j]))
　　　（ただし、 jはk[j]≦x<k[j+1]を満たす整数）
とすると、n→∞のとき f(n,x) は至る所連続で、かつ至る所微分不能です。
　ここで、f(n,(x-k[j])/(k[j+1]-k[j])) という部分は、f(n,x)(x=0～1)をxがk[j+1]～k[j]の範囲に縮小したものです。n→∞の極限では、f(∞,x)はf(∞,x)自身を縮小したものを継ぎ目で繋いで出来ている。こういう構造を「自己相似」とか「フラクタル」と言います。
　ウェーブレット変換においてwaveletが折れ線の関数である場合、何か与えられた関数g(x)を近似したものは、必然的にこれに類するフラクタル曲線になります。

　また別の例として、正六角形をひとつ描く。鉛筆をナイフで削るように、6つの角をそれぞれ適当な直線で切り取って12角形を作る。12つの角をそれぞれ適当な直線で切り取って24角形を作る…という手順を繰り返して行くと、できあがるのは概ね円のような、一見とても滑らかな形ですけれども、実は至る所微分不能の閉曲線になっている。

お礼

回答ありがとうございます。
分野でいうと、解析学、ということになるかと思いますが、確率論も絡んでいるようです。
何を読めばいいのかなぁ・・・。

回答No.1

rabbit_cat

いやおうなしに（純粋な数学的な興味ではなくて）
「すべての点で連続、かつすべての点で微分不可能」
な関数を考えざるをえない分野として、「金融工学」があります。

ブラウン運動（株価なんかの時系列のモデル）というやつです。ブラウン運動の（サンプルパスの）時系列は、すべての点で連続、かつ（ほぼ確実に）すべての点で微分不可能な関数になります。
ブラウン運動は、微分不可能なだけではなくて、確率過程になるのでさらにやっかいですが、逆に確率過程なんで大数の法則みたいなことを考えられるので簡単になるとも言えますが。

金融工学の本は大量にあるのでお好きなものをどうぞ。

お礼

回答ありがとうございます。
ブラウン運動も病的関ということでしょうか。