この関数の連続性について

質問

この簡単な関数は閉区間[0，1]で連続でしょうか？

g(x)=√（1-ｘ＾2），つまり，（1-ｘ^2)＾-1/2

微分可能であれば，連続だと思いますが，

単純にｘで微分すると，

ｇ’＝-ｘ/（√(1-ｘ＾2)）となると思います．

これが，閉区間[0,1]で微分可能であると，数学書は解いていますが，
ｘ＝1の点は，このｇ’は分母が0となってしまいます．1でも微分可能なのでしょうか？

どうぞご指導ください．

回答No.1

shibainumodoki · ベストアンサー

まず　g(x)=√（1-ｘ＾2）=（1-ｘ＾2）^(1/2)　ではないでしょうか？
dg(x)/dx =-x/{(1-x^2)^0.5}　ですが。

微分可能なら連続は常に成り立ちますが、逆は必ずしも成り立ちません。
本題の g(x) が閉区間[0，1]で連続かというと、連続です。連続の条件を簡単に言うと、
『lim(x→a) g(x)=g(a)　(aはg(x)の定義域内)』で定義域の端x=1でも片側極限がg(1)に等しければx=1連続です。
lim(x→1-0) g(x) =g(1)=0　なので連続です。

補足

>まず　g(x)=√（1-ｘ＾2）=（1-ｘ＾2）^(1/2)　ではないでしょうか？

そのとおりです．ありがとうございます．

みなさま，あとで見させていただきます．とりいそぎ，訂正させてください．

回答No.7

masudaya

概念的に言うと
連続はグラフがつながっていて切れ目がないことで
微分可能とはグラフが切れ目がなくかつ尖っていないことで,連続より厳しい条件です.
関数f(x)がx=aで連続とは
lim(x→a)f(x)=f(x)|x=a
ということで,(∞とかが出る場合は右からとか左からとか見る必要があると思いますが)
今回のg(x)の場合,問題なく連続といえます.

回答No.6

taktta

＞閉区間[0,1]で微分可能であると，数学書は解いていますが，
＞ｘ＝1の点は，このｇ’は分母が0となってしまいます．1でも微分可能なの＞でしょうか？

閉区間[0,1]で微分可能とはｘ＝０では右へ、またｘ＝１では右への微分商が存在することをいいます。この場合ｘ＝１では右への微分商の値は∞で
微分可能とはいえません。

回答No.5

taktta

1-ｘ＾2は当区間で連続
ルート√関数も当区間で連続関数
連続関数の合成関数も当区間で連続関数
よって連続は明らか

回答No.4

shibainumodoki

＃１ですが、続きです。
g(x)=（1-ｘ＾2）^(1/2)　(0≦x≦1)　は円 x^2+y^2=1の第一象限の部分及び点(1,0),(0,1)　ですよね。
dg(x)/dx は x=1 で-∞、g(1)は存在するので、このグラフを描く時は、点(1,0)で、直線 x=1 に接するように描きますよね？

でも、円 x^2+y^2=1の第一象限の部分及び点(1,0),(0,1) を描けば、連続性などは、直感的に分かるような気もします・・・。

回答No.3

Caper

私は ANo.#2 で回答した者です。脱落がありましたので、補足させてください。

　2番目 の ● 内です。

[ 誤 ] この y = (1-x^2)^(1/2) は半径 1 の円の 第 1 象限 部分です。
[ 正 ] この y = (1-x^2)^(1/2) は、原点(0, 0) を中心とする半径 1 の円の 第 1 象限 部分です。

　また、「 微分係数 」は有限な極限値として定義されるようです。ですから、それがもし正しいならば、x = 1 で「 微分可能 」とは言えないように、私は思います。

回答No.2

Caper

● 問題となる関数が y = (1-x^2)^(1/2) であるとして、回答させてください。

● 問題となる関数は次のように変形できますよね。

　 y^2 = 1-x^2
　 x^2+y^2 = 1

　 x-y 平面で、y = (1-x^2)^(1/2) を考えますと、この y = (1-x^2)^(1/2) は半径 1 の円の 第 1 象限 部分です。
　 このとき、x = 1 における y = (1-x^2)^(1/2) の接線は、「 点(1, 0) を通って、なおかつ y軸 に平行な直線 」です。

● 接線の傾きが有限な値として表わすことができて、その傾きを「 微分係数 」ともし呼ぶならば、x = 1 における「 微分係数 」はこの場合表わしようがないと、私は思います。

● まちがっていたら、ごめんなさい。