[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求め方は?
[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求めよ。
という問題です。
[解]
これの周期はL=π/2でf(x)は奇関数でも偶関数でもないので
f(x)=a_0/2+Σ[k1..∞](a_kcons(kπ/L)+b_ksin(kπ/L)x)…(1)
(i) a_0について
a_0=1/L∫[-L..L]f(x)cos(kπ/L)dx=1/(π/2)∫[-π/2..π/2]x^2cos(0・π/π/2x)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2dx
=2/π[x^3/3]^(π/2)_(-π/2)=π^2/6
(ii) a_kについて
a_k=1/L∫[L..-L]f(x)cos(kπ/Lx)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2cos(2kx)dx=2/π[x/(2k)sin(2kx)+1/(4k^2)cos(2kx)]^(π/2)_(-π/2)=2/π(π/2/(2k)・0+1/(4k^2)・(-1)^k-(-π/2)/(2k)・0-1/(4k^2)・(-1)^k)=0
(iii) b_k (k=1,2,3,…)について
b_k=1/L∫[-L..L]f(x)sin(kπ/Lx)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2sin(kπx/(π/2)dx)=2/π∫[-π/2..π/2]x^2sin(k/2)xdx
=-4/(kπ)[x^2cos(k/2)x-2x^2/ksin(kx/2)-2cos(kx/2)]^(π/2)_(-π/2)
=4/(kπ)(x^2(1/√)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-2(1/√2)^k-x^2(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k-2(1/√2)^k)
=-4/(kπ)(2x^2(1/√2)^k-4(1/√2)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k)
で(i),(ii),(iii)を(1)に代入して
f(x)=π^2/12+Σ[k=1..∞]{-4/(kπ)(2x^2(1/√2)^k-4(1/√2)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k)}sin(kx/2)
となったのですがこのやり方で正しいでしょうか?
お礼
あ～～またまた気が付きませんでした。。。。 久しぶりにやったらすっかりこういう事を忘れていました。 有難うございました。