三次方程式の問題です。

質問

次の問題を教えてください。
３次方程式 x^3+3(k-1)x^2-12kx-8=0 が２重解、または３重解を持つような実数の定数kの値をすべてもとめよ。

です。どうも途中で計算が合わなくなってしまうので、わかりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

taropoo

ちょっと誤解してた所があったようで、ご免なさいね。

お詫びにと言うわけではないのですが、別解をひとつ。

f(x)=0の３つの解をα,β，γとすると、f(x)のx^3の係数は１だから

f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ) = x^3 - (α+β+γ)x^2 + (βγ+γα+αβ)x - αβγ

これと元の式の係数を比較すると

α+β+γ = -3(k-1)　　　　…(i)
βγ+γα+αβ = -12k　　　　…(ii)
αβγ = 8　　　　…(iii)

となります。これを使うと

(I)３重根の時
α=β=γより

3α = -3(k-1)　　　　…(i)'
3α^2 = -12k　　　　…(ii)'
α^3 = 8　　　　…(iii)'

(iii)'より、α^3 - 8 = (α-2)(α^2+2α+4) = 0
α^2+2α+4 = (α+1)^2 + 3 > 0 よりα = 2、これを(i)'へ代入すると
3*2 = -3(k-1)　
∴k = -1　　　　…(iv)

これは(ii)'をも満たすので求めるkの条件である。

(II)２重根の時
α=β≠γ, k ≠ -1より

2α+γ= -3(k-1)　　　　…(i)''
2αγ+α^2 = -12k　　　　…(ii)''
α^2γ = 8　　　　…(iii)''

(i)''よりγ = -2α-3(k-1)　　　　…(v)
これを(ii)''へ代入して
2α{-2α-3(k-1)}+α^2 = -12k、整理して(α-2)(α+2k) = 0　∴α=2, -2k

i)α=2の時
(iii)''よりγ=2、これはα≠γに反する。

ii)α=-2kの時
(v)よりγ = -2(-2k)-3(k-1) = k+3　　　　…(vi)
よってα=-2kと(vi)を(iii)''へ代入すると
(-2k)^2(k+3) = 8、整理して(k+1)(k^2+k-2)=0

k≠-1よりk^2+k-2=0 ∴k = -1±√3
このときα = -2k = -2干2√3), γ = 2±√3　（複号同順）

以上よりf(x)=0は
k=-1の時３重根x=2をもち、
k=-1±√3のとき２重根x = -2干2√3)と他の解x = 2±√3（複号同順）を持つ。　　　　（解答終）

この解法のいい所は、値をいちいちf(x)に代入してf(x)=0を確認する必要のない事です。
最初にあのようにα,β，γを定義した時点でこれらはf(x)=0を満たしているからです。

回答No.3

oodaiko

＞x=-2k,2なので、kを場合わけして
＞f(-2k),f(2)を考えていけばいいのか・・・という感じです。
わかってるじゃないですか。

＞３重解となるのは極大値＜０または極小値＞０または単調に増加のときである。
本当に参考書にそんなことが書いてありましたか？
実数の３重解を持つなら、接線が０になるような点は一つしかない、つまり単調増加の場合
しかないはずです。（確認して下さい）

とりあえず２重解について考え方を書いておきます。

いまkが実数の場合を考えるのですから元の３次方程式の係数はすべて実数です。
また実数係数の３次方程式が２重解を持つならば、その２重解は必ず実数です。
つまり２重解をもつ場合は２つの実数解を持ちます。これをグラフで考えてみると、
２重解を持つ場合はグラフの極大値または極小値のところでx軸に接していることがわかります。

そこで元の式が極大値または極小値をとるようなxで式の値が0になるようにkを決めてやります。

極値をとるxを決めるため、元の式を微分して
3 x^2 + 6(k-1)x -12 k
を得ます。極値は２つなければいけないので判別式の中は0でないことが必要です。
そこでまず
k≠-1
という条件が得られます。（k=1の場合が３重解に相当します）
あとはxについての２次方程式
3 x^2 + 6(k-1)x -12 k = 0
を解いて得られた２つの解 x=-2k,2 を元の式に代入してその値を0とおいてやると
kについての３次方程式が得られます。これを解いてkの値が得られます
ただし k=-1は２重解に対する答えにならないことに注意して下さい。

お礼

遅くなってすみませんでした。
３重解の場合は、私の解釈違いでした。参考書には書いてありませんでした。（当たり前ですけど・・・）
教えていただいたやり方でといていくと理解する事が出来ました。途中までは自分のやり方で合っていたので少し自信がつきました。
ありがとうございました。

回答No.2

numa00

いまざっと計算してみただけなので、計算間違いがあったらごめんなさい。ひょっとして、K=-1の一解だけでしょうか？

　この3次方程式が上記の条件を満たす場合は、(1)この3次方程式のグラフが変曲点(この点が重解)でX軸と接した上、もう1点でX軸と交差する場合。(2)この3次方程式のグラフはひとつの変曲点しかなくて、この点でX軸と接する（交わる？)場合（3重解)。のいずれかと思います。

　そうすると、この3次方程式をXに関して微分して、
3x^2+6(k-1)x-12k=0　……（A)
という2次方程式が実数解を持つことが求められます。
この2次方程式が二つの異なる実数解を持てば、そのうちのひとつが(本来の3次方程式の）重解となるでしょうし、この2次方程式がひとつの実数解（重解）を持てば、これが(本来の3次方程式の)3重解となると思います。

　この2次方程式（A)を整理すると、
x^2+2(k-1)x-4k=0　
x^2+2(k-1)x +(k-1)^2-(k-1)^2 -4k=0
{x+(k-1)}^2-(k^2-2k+1+4k)=0
{x+(k-1)}^2-(k^2+2k+1)=0
{x+(k-1)}^2-(k+1)^2=0　……(B)

　この（B)が実数解を持つためには、頂点{-(k-1),(k+1)^2}がx軸上か、X軸より下方にあればよいことになります。すなわち、
(k+1)^2 <= 0　……(c)
を満たせばよいことになります。

　このためには、k=-1　のただひとつが条件を満たすことになるかと思います。

　どうでしょうか？

補足

ご回答ありがとうございました。返事が遅くなってすみません。
oodaikoさんに教えていただいたやり方で自分で解いてみたのですが、答えはk=-1
以外にも-1+√3,-1+√3がでてきました。あと、taropooさんに教えていただいた別解でもその答えでした。
だから、多分答えはその３つになると思います。
でも、numa00さんに教えていただいたように図で考えるのもわかりやすいなあと思いました。

回答No.1

taropoo

どこまでどう考えてどこでつまづいたの？

この質問なんかまだましですが、上の方など宿題の丸投げにしか見えませんよ。

補足

やったところまで書きます。
f(x)=x^3+3(k-1)x^2-12kx-8とおくと、
f'(x)=3x^2+6(k-1)x-12x
=3(x+2k)(x-2) となる。
（ここからは参考書を見ながらやりました。）
解が２重解となるのは極大値＝０または極小値＝０のときで、３重解となるのは極大値＜０または極小値＞０または単調に増加のときである。
（ここからわかりません）
x=-2k,2なので、kを場合わけして
f(-2k),f(2)を考えていけばいいのか・・・という感じです。

わからない問題を集めて書いているので宿題の丸投げにしか見えないかもしれませんが、一応全部考えてはいます。だから今度からは出来るだけ詳しく書いていきたいとは思いますが、本当にわからないものも多いのでよろしくお願いします。