[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求め方は?

質問

[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求めよ。
という問題です。
[解]
これの周期はL=π/2でf(x)は奇関数でも偶関数でもないので
f(x)=a_0/2+Σ[k1..∞](a_kcons(kπ/L)+b_ksin(kπ/L)x)…(1)
(i) a_0について
a_0=1/L∫[-L..L]f(x)cos(kπ/L)dx=1/(π/2)∫[-π/2..π/2]x^2cos(0・π/π/2x)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2dx
=2/π[x^3/3]^(π/2)_(-π/2)=π^2/6
(ii) a_kについて
a_k=1/L∫[L..-L]f(x)cos(kπ/Lx)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2cos(2kx)dx=2/π[x/(2k)sin(2kx)+1/(4k^2)cos(2kx)]^(π/2)_(-π/2)=2/π(π/2/(2k)・0+1/(4k^2)・(-1)^k-(-π/2)/(2k)・0-1/(4k^2)・(-1)^k)=0
(iii) b_k (k=1,2,3,…)について
b_k=1/L∫[-L..L]f(x)sin(kπ/Lx)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2sin(kπx/(π/2)dx)=2/π∫[-π/2..π/2]x^2sin(k/2)xdx
=-4/(kπ)[x^2cos(k/2)x-2x^2/ksin(kx/2)-2cos(kx/2)]^(π/2)_(-π/2)
=4/(kπ)(x^2(1/√)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-2(1/√2)^k-x^2(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k-2(1/√2)^k)
=-4/(kπ)(2x^2(1/√2)^k-4(1/√2)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k)

で(i),(ii),(iii)を(1)に代入して
f(x)=π^2/12+Σ[k=1..∞]{-4/(kπ)(2x^2(1/√2)^k-4(1/√2)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k)}sin(kx/2)

となったのですがこのやり方で正しいでしょうか?

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求めよ。
>[解]
>これの周期はL=π/2で
周期はL=πだと思いますが違いますか？

L=πとすれば
>f(x)=a_0/2+Σ[k1..∞](a_kcons(kπ/L)+b_ksin(kπ/L)x)…(1)
ではなくて
f(x)=a_0/2+Σ[k=1,∞]{a_k*cos(2kx)+b_k*sin(2kx)}…(1)'
となります。

＞(i) a_0について
＞a_0=1/L∫[-L..L]f(x)cos(kπ/L)dx=(π^2)/6
は間違いです。
a_0=(1/π)∫[0,π] f(x)dx=(1/π)∫[0,π] x^2dx=(π^2)/3

＞(ii) a_kについて
＞a_k=1/L∫[L..-L]f(x)cos(kπ/Lx)dx=0
は間違いです。
a_k=(1/π)∫[0,π]　(x^2)cos(2kx)dx=1/(2k^2)

＞(iii) b_k (k=1,2,3,…)について
＞b_k=1/L∫[-L..L]f(x)sin(kπ/Lx)dx
＞=-4/(kπ)(2x^2(1/√2)^k-4(1/√2)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k)
も間違いです。
b_k=(1/π)∫[0,π]　(x^2)sin(2kx)dx=-π/(2k)

後は(1)'に代入すればよい。

間違いだらけです。

お礼

どうもご指摘大変有難うございます。
おかげ様納得できました。m(＿ ＿)m

回答No.3

stomachman

ANo.1のコメントについてです。

> もしかして
> [0,π)でf(x)=x^2を一旦,x軸方向にπ/2だけ平行移動して
> f1(x)=(x+π/2)^2 on [-π/2,π/2)
> で考えてみてもいいのではと思い付きました。

　うーん、そうまでして[-π/2, π/2)にしたいですかね。素直に[0,π)の範囲で積分すりゃ簡単なのに。

　いや、どうしても[-π/2, π/2)でやりたいと仰るのなら、
f(x) = (x<0のとき　(x+π)^2、x>=0のときx^2)
という不連続な関数をフーリエ級数展開することになる。なぜなら、周期関数f(x)、すなわち
f(x)= (x∈[0,π）のときx^2)
f(x+π)=f(x)
のグラフをちょこっと描いてみりゃ自明
…っていう基本のところが、質問者さんにとっては自明じゃないからこそ、この質問になったんだと思います。

　えとですね、初めのうちは例題の格好を真似して計算するのも、ま、勉強ではあります。だけど、大学の数学は、計算の練習ばかり幾らやっても駄目です。無駄です。徒労です。
　図書館でご覧の本には例題より前に、どうしてそうなるの、って説明が丁寧に書いてあるはず。そこんとこをじっくり読み直して理解しないと前に進めませんよ。

お礼

> 　うーん、そうまでして[-π/2, π/2)にしたいですかね。素直に[0,π)の範囲で積
> 分すりゃ簡単なのに。

[0,π)で納得できました。なるほど[0,π)の法が簡単でした。

> 　えとですね、初めのうちは例題の格好を真似して計算するのも、ま、勉強ではあり
> ます。だけど、大学の数学は、計算の練習ばかり幾らやっても駄目です。無駄です。
> 徒労です。
> 　図書館でご覧の本には例題より前に、どうしてそうなるの、って説明が丁寧に書い
> てあるはず。そこんとこをじっくり読み直して理解しないと前に進めませんよ。

何とか頑張ってみたいと思います。

回答No.1

stomachman

> これの周期はL=π/2

ほんとですか？
[0,π)だっつーのに、全部[-π/2, π/2)で計算してるのはどういうわけでしょうか。

お礼

レス有難うございます。

> ほんとですか？
> [0,π)だっつーのに、全部[-π/2, π/2)で計算してるのはどういうわけでしょう
> か。

周期πでした。失礼致しました。m(＿ ＿)m

もしかして
[0,π)でf(x)=x^2を一旦,x軸方向にπ/2だけ平行移動して
f1(x)=(x+π/2)^2 on [-π/2,π/2)
で考えてみてもいいのではと思い付きました。
(図書館で見つけた例題では原点をまたいだ区間でのフーリエ級数を求めるのばかりで、、、)

これも偶関数でも奇関数でもないので求める関数f1(x)は
f1(x)=a_0/2+Σ[k=1..∞](akcos(kx/L)+bksin(kx/L))…(1)
(i) a0について
a0=1/L∫[-L..L]f1(x)cos(0x/L)dx=π/2∫[-π/2..π/2](x+π/2)^2・1=A
(ii) ak (k=1,2,3,…)について
ak=1/L∫[-L..L]f1(x)cos(kx/L)dx=B
(iii) bk (k=1,2,3,…)について
bk=1/L∫[-L..L]f1(x)sin(kx/L)dx=C
(但し,L=π/2)

よって求めたA,B,Cを(1)に代入して
f1(x)=A/2+Σ[k=1..∞](Bcos(kx/L)+Csin(kx/L))
そこでπ/2だけ元に戻して
∴f(x)=A/2+Σ[k=1..∞](Bcos(k(x-π/2)/L)+Csin(k(x-π/2)/L))
でいいのですかね???