平面図形（三角形の内接円、外接円、傍接円）の問題を教えてください。

質問

ΔABC の内接円の中心を I とする。
また、ΔABC の傍接円のうち、辺BC と接するものの中心を J とする。
さらに、ΔABC の外接円と線分 IJ の交点を D とするとき、
(1) ID=DB が成り立つことを示せ。
(2) 4点 I,B,J,C が点 D を中心とする1つの円の周上にあることを示せ。

という問題です。
内心、傍心の性質、円周角の定理などを使って、
∠DBI=∠DIB を示せばよいということですが、どうにもできません。
よろしくお願いします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

図に印を入れながら読んでください。

(1)
弧ＣＤの円周角なので、∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＤ・・・(ア)
∠ＤＩＢ＝∠ＢＡＩ(∠ＢＡＤ)＋∠ＩＢＡ・・・(イ)
∠ＤＢＩ＝∠ＣＢＤ＋∠ＣＢＩ・・・(ウ)
仮定から∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ、∠ＣＢＩ＝∠ＩＢＡなので
(ウ)は、∠ＤＢＩ＝∠ＣＡＤ＋∠ＩＢＡとなり
∠ＤＩＢ＝∠ＤＢＩ　　よってＩＤ＝ＤＢ

(2)
仮定から∠ＩＢＪ＝90°（内角の二等分の1/2と外角の二等分の1/2)
同様に、∠ＩＣＪ＝90°。
四角形ＢＪＣＩは、対角の和がそれぞれ180°なので円に内接する。
直径の弧に対する円周角は90°であるから、ＩＪが円の直径であり
(1)からＤはその中心となる。

お礼

ありがとうございます！
なるほど、∠IBJ と ∠ICJ は
（内角の二等分の1/2と外角の二等分の1/2)
で、90°になるのですね。
それで、円に内接するということになるのですね。
また、よろしくお願いします。

回答No.3

debut

No2です。

書き方間違ってましたー。
誤）(内角の二等分の1/2と外角の二等分の1/2)

正）（内角の二等分と外角の二等分の和）

でした。（1/2、1/2の気持ちが先行したもんで・・・）
すみませんでした。

回答No.1

mister_moonlight

以前に同じ問題に答えたことがある。面倒なので、ＵＲＬを貼っとく。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5141261.html

＞(2) 4点 I,B,J,C が点 D を中心とする1つの円の周上にあることを示せ。

(1)が分れば直ぐ分るだろう。

お礼

ありがとうございます！
教えていただいたURLと(1)は同じなのですね。
同様にして、DI=DC は証明できたのですが、恥ずかしながら
DP(DJ) と等しいことを証明する方法がまだわからないです。。

補足

わかってきました（笑）
ありがとうございます。
また、よろしくお願いします。