数列 極限 問題

質問

次の問題が解けなくて困っています(T0T)汗

　lim(n→∞)[ (1/n){ (n+1)(n+2)(n+3)・・・(2n) }^(1/n) ]

この問題もそうですが、nが増えるたびに掛け算される数が増えるような数列の極限の解き方がわかりません。
どなたか解ける人がいればぜひ解法を教えてください！

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

L=lim(n→∞)[ (1/n){ (n+1)(n+2)(n+3)・・・(2n) }^(1/n) ]
=lim(n→∞)[{(1+1/n)(1+2/n)(1+3/n)・・・(1+n/n) }^(1/n) ]
公式 A=exp(log(A))を使い
L=lim(n→∞) exp(log([{(1+1/n)(1+2/n)(1+3/n)・・・(1+n/n) }^(1/n)]))
=lim(n→∞) exp({(1/n)Σ(k=1,n) log(1+(k/n))})

区分求積法（参考URL参照）を適用して
L=exp(∫(0,1) log(1+x)dx)

積分部分を取り出して積分すると
I=∫(0,1) log(1+x)dx=[xlog(1+x)](0,1)-∫(0,1) x/(1+x) dx
=log(2)-∫(0,1) (1-1/(1+x)) dx
=log(2)-1+[log(1+x)](0,1)
=log(2)-1+log(2)
=2log(2)-1
=log(4)-1

L=exp(I)=e^(log(4)-1)
=(e^(log(4)))/e
公式 A=exp(log(A))を逆に使い
=4/e

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kubun-kyuuseki-hou.html

お礼

なるほど、logとって区分求積法ですか！
すばらしい回答ありがとうございます！