正射影の大きさについて

質問

ある参考書に載っていた問題です。

ベクトルf=(b,a)について単位ベクトルe=(a,b)を含む直線上への正射影の大きさを求めよ。

答え：正射影の大きさをＬとすると、Ｌ＝｜ba+ab |＝2｜ab|

となっていましたが、なぜこのような答えとなるのかわかりません。
グラフがイメージできないのですが、なす角は０°なのですか？cos０＝１だから
cosが式に登場しないのでしょうか？

ベクトルが苦手なもので、どなたかご教示いただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞グラフがイメージできないのですが、
逆にこれができれば、ちゃんと導けますよ。
それも難しい図ではないので、きちんと描きたいところです。

cosは「結果として登場しないように」変形しています。
というよりも、f→と e→によってなす角：θが定められているので、
成分がわかっていればθは用いなくとも表せるはずです。

cosθを 2とおりの表し方で表します。
・|f→|と Lを用いた表し方
・f→と e→を用いた表し方

あとは成分を代入するだけです。
最後に計算上のポイントとして、e→は単位ベクトルなので a^2+ b^2＝ 1になっています。

お礼

早速のご回答深謝です。正射影の意味をよく理解していませんでした。なるほど結構単純なものなのですね。もう一度、基本に立ち返って復習します。
また何かございましたらよろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

内積がイマヒトツお分かりでないんでしょうね。
　ベクトル(a,b)とベクトル(p,q)の内積は、両者がなす角度をθとすると、
　　(a,b)・(p,q) = |(a,b)| |(p,q)| cosθ
になることはご存知のようである。ですが、話はこれだけじゃない。
　　(a,b)・(p,q) = ap + bq
という関係があるんです。（だから、
　　(a,b)・(a,b) = a^2 + b^2 = |(a,b)|^2
です。）

　で、ご質問の正射影の長さLというのは、「fとeの内積をeの長さで割ったもの」の絶対値、つまり
　　L = |(f・e / |e|)|
ですけれども、eは単位ベクトルなので|e| =1であり、f=(b,a), e=(a,b)だから、これらを代入して
　　L = | (b,a)・(a,b) |
という訳です。

　グラフはですね、直交座標系にベクトル(a,b)を描くと、x=yの直線に対する鏡像がベクトル(b,a)である。(xとyを入れ替えるんですから。）

お礼

詳細なご回答深謝です。内積を勉強していなかったのでまだ基礎があやふやだなと感じました。基本に戻って勉強しなおします。
また何かございましたらよろしくお願いします。