空間のベクトル

質問

おそらく正射影で解くのが早いと思って解きにかかったのですが、１時間粘っても分かりません。どなたか正射影での解き方で下の問題が分かる方いますか??

４点A(0.1.-1)B(1.2.0)C(-1.2a-2.1)D(b^2-2b+2.0.0)上において、ベクトルABとベクトルACが垂直の時のaを求め、四面体ABCDの体積が最小となる実数bとそのときの体積を求めよ。

回答No.2

muttysatty

a　について
　　ab＝(1,1,1) ac=(-1,2a-3,2)
1*(-1)+1*(2a-3)+1*2=0 を解く
ｂについて
　　abcを含む平面　p = a + s*ab + t*ac
この平面とDとの距離が最小となるｂを求めるには
　平面と点の距離の公式を利用するのがよいでしょう。

お礼

よく分かりました！ありがとうございます。

回答No.1

nsaf

ABとACが垂直であるための必要十分条件は、AB,ACが非零かつABとACの内積が零なることです。非零の条件は自明ですから、これによりaを求めることはAB・AC=0で定まる一次方程式を解けば求まります。

つぎに、bを求める事はAB,AC,ADからなる行列式の絶対値が体積であるという事実を使い微分法を求めるという方法があります。
正射影を用いるならば、ABとACの外積ABXACがAB,ACのなす平面の法ベクトルであり、AからABxAC方向の直線上へのADへの正射影の大きさは|(ABxAC)・AD|で与えられます。
これは四面体ABCDの面ABCに対する高さの長さに相当し、これが最小なるbを微分法なりを使えば求まります。
正射影を用いる方法は、|(ABxAC)・AD|がAB,AC,ADからなる行列の行列式の絶対値に等しいことより最初に提示した方法と同じです。

お礼

実はまだ数Cを習っていないので後半はよくわかりませんでしたが、前半は分かりました！ありがとうございます。