解答を読んでもわからないのでご教授お願いします

質問

初めまして。中国の剰余定理の問題で、その回答を読んでも理解できないのでご教示をお願いしたいです。

原文をそのままコピーします。
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問題３　２００８年灘中第一日[３]

　１７で割ると３余り，１３で割ると７余る３桁の整数で最も大きいものは□である。

解答
（ヒント）等差数列を利用します。そして１７，１３で割った余りの情報を，ある数で割った余りの情報にまとめます。

１７で割って３余る数は、交差が１７の等差数列になります。

３，２０，３７，５４，７１，８８，１０５，
１２２，１３９，１５６，１７３，１９０，２０７，
２２４，２４１，２５８，２９２，３２６・・・・・・

ヒントに書いたある数とは１７・１３＝２２１のことです。２２１で割った余りは、順に

３，２０，３７，５４，７１，８８，１０５，
１２２，１３９，１５６，１７３，１９０，２０７，
３，２０，３７，５４，７１，８８，１０５，・・・・・・

となります。
　３行目が１行目と同じですが、これはたまたまでしょうか？
もちろん必然です。なぜなら公差の１７を１３個分加えたら１７・１３＝２２１になるからです。つまり、１３個を１つの周期として

３，２０，３７，５４，７１，８８，１０５，
１２２，１３９，１５６，１７３，１９０，２０７

が繰り返される、と分かります（今後は「周期１３」といいます）。
　同様に１３で割って７余る数は公差１３の等差数列で、これらを１７・１３＝２２１で割った余りは、周期１７になります。

７，２０，３３，４６，５９，７２，８５，９８，１１１，１２４，
１３７，１５０，１６３，１７６，１８９，２０２，２１５

１３個の数と１７個の数には共通のものが１つだけあります。

◎共通している部分にはどんな意味がある？
　『１７で割ると３余り、１３で割ると７余る整数』は、どちらのグループにも属する数なので、

『２２１で割ると２０余る整数』

と換言できるのです。そのような数を並べると、

２０，２４１，４６２，６８３，９０４，１１２５，・・・・・・

という初項２０、公差２２１の等差数列です。ですから、３桁で最大のものは

９０４（こたえ）です。

　この解答の主要部は「１７で割ると３余り、１３で割ると７余る」を「２２１で割ると２０余る」と換言したところでした。大事なのは、『２２１で割った余りが１種類に決まったこと』です。
これは、一般に成り立つ式として知られています。

（公式）中国の剰余定理
ｍ，ｎは互いに素な自然数とする。
　整数ｘは、ｍで割るとa余り、ｎで割るとb余るとする。
すると、ｘをｍｎで割った余りは１つに決まる。
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以上が原文で、ここからは質問を書きます。

⇒「ヒントに書いたある数とは１７・１３＝２２１のことです。２２１で割った余りは、順に」

・ここの２２１で何を割ればいいのか。

・また、順に現れる数がどうやって導いたのか。

・結局２２１が絡んできた部分全般が分からない。

⇒「３行目が１行目と同じですが、これはたまたまでしょうか？
もちろん必然です。なぜなら公差の１７を１３個分加えたら１７・１３＝２２１になるからです。」

・“なぜなら”と理由が説明されているが、自分には理解できない。

以上が分からない部分です。他はなんとなく分かった気にはなっております。よろしくお願いします。
ちなみに、自分は高校数学を一般教養として触った程度であり、特に理解力がある訳でもないので、数式だけで読み取るのは苦手でございます。

＊書き間違いがあるかもしれません。

回答No.3

OYAZ1962 · ベストアンサー

No.1です。

先ずNo.2の方のご指摘のように、算数の場合には余りという言葉が使用されると商は整数に限定されます。小数点がついたり分数形式なら余りは出ませんので。

次の疑問ですが、17で割ると3余る数の列挙を最小公倍数の221で割った余り数の列が
3・20・37・54・71・88・105・122・139・156・185・202・3・20・・・
となり、13個の周期で繰り返しています。これが何故13個なのかの説明として、17*13=221の最小公倍数で割っているから13個が必然だと言っています。

この計算は17で割ると3余り、13で割ると7余る数を求める問題なので、17で割ると3余る数と13で割ると7余る数のそれぞれを最小公倍数で割った余りの共通する数を探しているのです。

簡単にしてみましょう。
2で割ると1余り、3で割ると2余る数の場合。
2で割ると1余る数
1・3・5・7・9・11・13・15・17・19
これを最小公倍数6で割った余りは
1・3・5・1・3・5・1・3・5
3で割ると2余る数
2・5・8・11・14・17・20
これを最小公倍数6で割った余りは
2・5・2・5・2・5・2・5
2で割ると1余る数の周期は3個ずつ、3で割ると2余る数は2個ずつになっています。これを最小公倍数の6で割った結果であるので6/2=3、6/3=2を用いて説明しているのです。
この場合共通する数は5なので5に最小公倍数の6を加えていった数
5・11・17・・・
となり上記に書き出した2で割ると1余る数と3で割ると2余る数の列挙の比較からも正解が確認できます。
異なる2つの数字で割るので，最小公倍数を用いているのです。共通する余りの数がわかれば後は最小公倍数を加えていくだけですから。

いかがでしょうか。

お礼

OYAZ1962さん
御親切にありがとうございます！
ここまで噛み砕いてもらえれば自分でも理解できるのでうれしい限りです。

実は、ちょうど今さっき理解できました（笑
しかし、このご好意により、考えが更に取捨選択され整いましたた。

回答No.2

uyama33

3/221＝0.01余り79と自分は計算しているので、余りが79となるのですが、この時点で考え方を間違えているのでしょうか。

まちがいです。

３＝221*0+3
と考えます。
３を221で割ると商0がたって、あまり3です。
整数の中だけで考えます。少数は使いません。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど！！！
整数であることを忘れておりました！
ということは、207まですべて０が商に立つということであり、
周期的に余りが登場することも、その他に関しても同時に理解できます。

この糸口ですべて腑に落ちました。理解できた気になっているだけでしょうが、とにかく、ありがとうございました！

回答No.1

OYAZ1962

17で割ると3余る数を列挙して、それを17と13の最小公倍数である221で割っているのです。
17で割ると3余り、13で割ると7余る数を求めるので17で割った余りも必要になるからです。
これを13で割ると7余る数でも行い、共通の数を探すのです。この共通の数が17で割ると3余り、13で割ると7余る数になるという事です。

問題文ではこの数が20で最小公倍数が221なので、17で割ると3余り、13で割ると7余る数は20・241・462となっていきます。

いかがでしょうか。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。大変感謝しております。
しかし、まだ不明な点があるのでここに捕捉いたします。

(1)　221で17で割ると3余る数を列挙したものを割っていることは今回のご回答により認識できました。しかしながら、納得がいきません。

それは、解答では3/221＝3として次々に列挙されている点です。
「・・・221で割った余りは、順に・・・」と示されている数値に自分の計算ではならないのです。どうやって３，２０，３７，５４，７１，８８，１０５，・・・という余りの数値を導き出したのかです。

3/221＝0.01余り79と自分は計算しているので、余りが79となるのですが、この時点で考え方を間違えているのでしょうか。

(2)　OYAZ1962さんの仰られているような、概括的な部分は何となく認識できているつもりです。しかし、計算が思い通りにいかず、解答と全く違ったものとなるといった状況に今はあります。
いったい自分のどこに問題があるのでしょうか。

以下２点をより具体的にご指導お願いできないでしょうか。

I　　（ヒントに書いたある数とは１７・１３＝２２１のことです。２２１で割った余りは、順に
３，２０，３７，５４，７１，８８，１０５，
１２２，１３９，１５６，１７３，１９０，２０７，
３，２０，３７，５４，７１，８８，１０５，・・・・・・）

II　　（・・・もちろん必然です。なぜなら公差の１７を１３個分加えたら１７・１３＝２２１になるからです。）