等差数列と完全数

質問

初項が自然数、公差が３、項数が２個以上の等差数列が考えられます。
そのような等差数列の和で表現できる自然数と表現できない自然数があります。
(表現できる自然数の例)６６＝１９＋２２＋２５

一方、完全数は自分以外の約数の和が自分自身に等しい数のことです。
具体例としては、６、２８、４９６、８１２８、３３５５０３３６などです。

私の質問は、完全数（偶数の完全数）は、上記の等差数列で表現”できない”自然数である、という予想についてです。
私は、最初の４個の完全数はＰＣで、上記の等差数列の和という形で表現できないことを確かめてみました。ただ、それ以上の完全数についてはわかりません。
これがすべての完全数について当てはまることなのか教えてください。

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

奇数の完全数は無いと予想されていますが、未解決問題です。奇数の完全数がもしあった場合にこの性質を持つかはわかりません。

偶数の完全数については完全にわかっていますから、この予想は正しいことが証明できます。
偶数の完全数は
2^m-1が素数の場合に 2^(m-1)(2^m-1)が完全数となり、この形以外の完全数はありません。
一方、初項a,項数n、公差3の等差数列の和はn(2a+3n-3)/2 です。
nが偶数だと2a+3n-3は奇数となりますから、完全数であればn=2^m またはn=2^m-1の場合しかありえませんが、どちらにしても矛盾が出て来るのを確認して下さい。

お礼

すみません、理解できました。
偶数と奇数の因数分解のしかたが一通りしかないからということだったのですね。
わかったときはうれしかったです。
それから、初項が正の整数と項数の数いう条件が効いていたのですね。
６は完全数ですが、
６＝－１＋２＋５
になりますからね。
これは少し前に気づいたことだったのです。

補足

n=2^mであればnは偶数ですから、2a+3n-3は奇数ですよね。矛盾が起きないように思うのですが。メルセンヌ素数は2a+3n-3のような形で表せないということでしょうか。

2^(m-1)(2^m-1)の因数分解が2^(m-1)と2^m-1になるということも関係しているのでしょうか。でも2^(m-2)と2(2^m-1)に因数分解することもできますよね。

私のレベルが低いから理解できないだけだと思うのですが、もし、よろしければ教えてください。

回答No.2

Tacosan

全然関係ないですが, 「完全数（偶数の完全数）は、上記の等差数列で表現“できない”自然数である」というのは表現として危険です. これは,
「x は偶数の完全数である iff x を初項が自然数, 公差が 3 で 2項以上からなる等差級数で表現することができない」
と解釈するのが普通じゃないかなぁ.

お礼

確かに、貴殿の言語表現のほうがわかりやすいですね。
ありがとうございます。