ポアンカレ予想

質問

高校の数学までは完全に理解したレベルと思ってください。（実は大卒ですが）
ポアンカレ予想の意味するところを知りたいのですが、
「単連結な３次元閉多様体は三次元球面Ｓ^3に同相である」
これを出来るだけ分かりやすく教えていただけませんか？

回答No.1

noname#108554

回答が無い様なので、私の知ってる範囲で適当に書きます。

単連結・・・要するに穴が開いてない。
3次元・・・3変数で書ける。
閉・・・体積が有限ってこと（？）
多様体・・・いたるところ微分可能(なめらか)
　　　　　　変な点が無い
球面・・・今は3次元なので、x^2+y^2+z^2+w^2=1
変数4つじゃないの？という気がするのは、気のせいです。
　　　　　今、問題にしているのは4次元空間内の3次元球面です。
同相・・・全単射があってそれは微分可能で、しかも逆写像も微分可能

2次元球面で考えると、ほとんど自明(？)な気もしますが、
私は証明は知りません。
それはともかく、「いくらぐにゃぐにゃしててもある条件を満たせば球面になりますよ。」
ということです。

お礼

感覚的には何となく分かりました。
正確な定義、もしくはその載っているサイトをご存知の方、いらっしゃいましたら引き続きよろしくお願いします。