四次元について

質問

「二次元球面2個をその曲面のみを中身はお互いが触れ合わないようにぴったり貼り合わせる」ことが数学的にありえることとされてたり、4次元の世界では、結び目のあるひもを握ったままほどくことができるということが数学的に正しい主張だということが納得できません。
そういったことについて一般向けに説明した記事を見ても、そのどれがなんか肝心なところが天下り式になっていて「そういうものだ(正しいから正しい、数学者が正しいと証明してるんだからお前はその真偽を気にするな)」みたいな感じでに投げ出されるような感じです。そういう態度をされた心情としては「四次元になったからといって三次元でほどけないものがほどけるとは限らないだろ、納得できる説明をしろ」と反発したくなるものです。
そりゃ専門的に難解な概念を使わないと厳密にはわからないことなのでしょうが、たとえば積分は高校の区分求積法でも一応あれで証明として完全と思えるぐらい腹落ちできる人がいますよね。
ああいうふうな感じで、今出回っている一般向けの記事ほど天下り式ではないけれど、そこまで難解なことを理解してなくても、四次元ではひもを握ったままほどけるとか、球面同士をくっつけられるみたいなことについて納得できる解説ってありませんか？そういう解説ができる方はしてくださるとうれしいです。

回答No.1

chachaboxx

次元を下げて考察してみると、わかりやすいかもしれません。

例えば、蟻は2次元までしか理解・経験できないと仮定すると、ボールの表面の今居る位置にしるしを付け、そこから真っ直ぐに前進していくと何故か先程しるしを付けた位置に戻ってしまう現象を経験からは理解出来ませんが、面がXY方向以外(Z軸=3次元方向)に曲がることを理解できれば、受け入れることは可能だと思います。

つまり、閉ざされた面(球体)に一匹の蟻がいるとき、そこに私が別の蟻を置いたら、元住民の蟻は、目の前に急に同士が現れた！　となりますが、元住民蟻が物理学者なら、3次元(上)方向から落ちて来たんだね　と理解できるはずです。

また、蟻は意図せず3次元的な巣を作って暮らしてますが、頭の中はあくまで前後左右の2次元感覚しかなくて、高次元の我々が見て初めて立体(3次元)構造として捉えることができる　といった感じです。

時間軸(過去から未来の1次元軸=Tx)も１つの次元として定義できますが、その時間に直角な時間平面次元(Ty)やさらに直角に拡張した時間立体次元(Tz)も存在しない理由はありません。
具体的には、仕事や人生で将来の計画を立て(Tx)、それを数パターン用意し(Ty)、さらにそれぞれで不慮の事態に備え準備する(Tz)　みたいに展開できます。

蟻はモノを重ねるという概念はありませんし重ねることも出来ませんが、私なら簡単にできます。
そーゆーことです。

お礼

回答ありがとうございます。そういった低い次元から始めて四次元を納得してもらおうとする解説はしばしば見ます。
例
https://gendai.media/articles/-/88722?imp=0
でもやっぱり、「だからもっと高い次元なら当たり前」みたいな説明で終わってしまってるように思います。
われわれ自身四次元を理解しようとする立場から見れば蟻のようなものです。それは位相幾何学専門の数学者とて変わらないはずです。
それなのに数学者「結び目をほどくことができる」というようなことをきちんと納得しているわけでしょう。独り善がりになんとなく「ほどくことができるはずだ」という思い込みの段階にあるわけではないでしょう。一体それにはどのようなプロセスを経ているのでしょうか？
高校の頃、4点が同一平面に属すことをベクトルによって証明した記憶がありますが、あのような証明実際に図形を描いて補助線とかで視覚的にある事実を示そうとするのとは一線を画しています。たとえ図を示されなくてもベクトルの計算で得た答えが「その可能性以外ありえないか」と納得させてくれるわけです。
4次元についても同じようなことなのでしょうか？つまり数学者も4次元とかについて直感的なイメージでひもがほどけるとかいうようなことを納得しているわけではなく、数学的操作によって得られたことで「ほどける可能性以外ない」と、消去法的に納得している感じなのでしょうか？

補足

お礼に書いたことに関する補足です。
そもそもこの質問は「位相幾何学を勉強している人は高次元の幾何的構造についても視覚的あるいはその他の感覚的直観的な認識ができる人が多くて、それができないような人は早々にこの分野を諦めるのが賢明なのだろうか」という不安をもとにしたものです。
たとえばリンク先の「どのような想像力が必要か」の項目にある添付画像のような遠近法の図を見れば、確かにこれを三次元の立体として認識することならできます。
https://gendai.media/articles/-/67334?page=2
三次元とみなしてみたときの描かれた面同士の位置関係というかつながり具合、全体の構造を三次元としてしっかりとらえることができるわけです。
しかし下記wikipediaのページにあるような三次元球面の立体射影の図を見ても、描かれた線に囲まれてなしている各面（面ですらないのかもしれないが）が全体から見てどのような位置関係にあるか、そのつながり具合について全くぴんと来ません。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2#:~:text=%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93%E5%86%85,%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%AF%BE%E8%B1%A1%E3%81%A7%E3%81%82%E3%82%8B%E3%80%82
それは大抵の数学者も同じで安心してよいことなのでしょうか？それともそういった立体射影の図を当該高次元を描いた図として捉えられないようならそれを学ぶ才能もないということなのでしょうか？それは後天的に身に着けられるようなものでなく才能次第というものなのでしょうか？