ポアンカレ予想

質問

先日テレビでやってたのを興味深く見たのですが、腑に落ちない点がありました。
ドーナッツの淵に沿ってロープを回した状態であれば、単純に考えてロープは回収できると思うのですが、できないとされるのはなぜか。
番組内でもひとりの学生が質問していまして、それに対するCG説明もあったのですが、わかりませんでした。
かなり初歩的な質問だと思うのですが、素人にも納得のいくようにご説明いただけるとありがたいと思います。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

もしかすると、「ロープはドーナツの表面上だけを動ける」という話であることがお分かりでないのかも。表面から離れるのは禁止なんです。
　ですから、「ドーナツの淵(縁)に沿ってロープを回した状態」であれば、ドーナツの穴に「引っ掛かって」回収できない。ロープ上の点Aは穴を「（矢印のように）飛び越える」ことができないからです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞　「ロープはドーナツの表面上だけを動ける」という話であることがお分かりでないのかも。
：
ご推察のとおりです。
感覚的にわかりやすいご回答内容でした。
＃５さんや＃７さんは、そのあたりのことを専門的に回答していただいたのかもしれません。
細かい疑問は残りますが、素人なりに腑に落ちました。

回答No.7

alice_44

訂正です。恥ずかしい間違いをしていました。
トーラス面については、A No.6 が正しい。
A No.4 では、トーラス面を境界に持つ
三次元領域の話になってしまいます。
質問氏も、同じような勘違いをしたのかな…

お礼

ご回答ありがとうございます。

わたしの場合、勘違いできるレベルにすら達していないと思います。
誠意あるご訂正投稿に感謝いたします。

回答No.5

Knotopolog

＃３です．

テレビは見ていないので，テレビの内容に沿う回答は出来ないのですが，

ドーナッツをＤで表し，ドーナッツの表面（ドーナッツの境界）を∂Ｄで表します．そして，ロンジチュードをＬとすると，

　　　　　Ｌ ⊂ ∂Ｄ ⊂ Ｄ

の関係になります．つまり，ロンジチュードＬは，ドーナッツの表面∂Ｄ（質問者さん流に言うとドーナッツの淵）の或る部分です．

「ロープ（ロンジチュードＬ）が回収できない」という意味は，ロープを回収して，ドーナッツの淵から取り出すと，その瞬間に，Ｌ ⊂ ∂Ｄ ではなくなるため，ロープは回収できない事になる，と言うことではないのでしょうか．

ロンジチュードは，ドーナッツの表面にあるからロンジチュードなのであって，ドーナッツの表面から取り外したら，ロンジチュードではない！　という意味です．

この解釈，如何でしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

数学記号の意味をウィキで調べながら読んでみましたが、素人には難しいようです。
興味深く拝見いたしましたが、わたしには猫に小判かも。

回答No.4

alice_44

回収できるロープの掛け方と、
回収できないロープの掛け方がある
ということです。
回収できないのロープの掛け方が
何通りあるかで、曲面が分類できます。
トーラスの場合は、
回収できない掛け方が一種類だけあり、
回収できないロープは、ずらしてゆくと
皆、同じ位置へ移動できます。
回収できる掛け方も、もちろん存在します。
貴方は、それを見つけたんですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.3

Knotopolog

このＵＲＬの絵をみて下さい．↓

トーラス（wikipedia）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9

トーラス上の閉曲線をメリディアン（meridian）または経線（けいせん）といい、

p を一定にしたときのトーラス上の閉曲線をロンジチュード（longitude）または緯線（いせん）という。

この，メリディアンが，はずせない閉曲線と言う事になります．

お礼

ご回答ありがとうございます。

メリディアンが外せないのは理解できます。
しかし、宇宙に繰り出すロープは無作為のはずですから、ロンジチュードの軌跡を辿る可能性もあるのではないか、という疑問です。

回答No.2

keiryu

絵のように、ロープは回収出来ないと思うけど、・・・・。

お礼

ご回答ありがとうございます。

「ドーナッツの淵に沿ってロープを回した状態」について知りたいと思います。

回答No.1

suz83238

おそらく、こうだろうと思います。
棒が1本立っていて、その長さが無限大とします。あなたが1本のロープを木の後ろをまわして、木の前でロープの端を両手で持ったとき、はたしてロープは木から外れるか、またはずす方法はあるかどうか。
ロープが回収できそうなのは、ロープをドーナツの穴に入れてうまくすればできそうに思えるからですが、穴を無限に続く木のように考えれば、やっぱりできないと思うと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

たとえば、ロープが木の横をすり抜けて宇宙一周することもあるのではないだろうか、という疑問です。