虚数の入った問題です。参考書の答えが間違ってる？

質問

画像見てください。虚数の入った式でxの値を求めるのですが、何回か計算して答えは1/3になると思うのですが答え見たら違う答えでした。参考書の方が間違ってたらいいのにと思います。

数学好きな人本当の答え教えてください。

回答No.6

kiha181-tubasa · ベストアンサー

(1+xi)/(3+i)の分母を実数化（「分母の有利化」の」ような計算です）すると道が開けます。

(1+xi)/(3+i)
={(1+xi)(3-i)}/{(3+i)(3-i)}
={(3+x)+(3x-1)i}/10
=(3+x)/10+{(3x-1)/10}i

これが純虚数という事は，実部(3+x)/10が0になる事ですから
(3+x)/10=0
∴x=-3　……(答)

この計算のキモは，「分母を実数化して，A+Biの形にする」事でした。

（質問者は純虚数ではなくて実数になる方のxを求めたのですね。）

お礼

参考書も分母に共役な複素数を掛けて実数化して解く方法を例題で出していました。

だから同じやり方で私も解いてて、でもなぜか最後に実数にする答えを選んだのが間違った原因でした。純虚数って書いてあるのに(；ω；)何回読んでも気づかなかった…

パーフェクトアンサーありがとうございました。

回答No.5

notnot

x=1/3だと (1+x*i)/(3+i) は純虚数じゃなくて実数になります。あなたの勘違いもしくは問題読み間違いでしょう。

式の値が純虚数だと言うことで、実数yを使って式の値がy*i だとすると、
(1+x*i)/(3+i) = y*i
1+x*i = 3*y*i + i*y*i = 3*y*i - y
両辺の実部と虚部がそれぞれ等しいので、
y = -1
x = 3*y
∴ x = -3

お礼

わかりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.4

asuncion

＞あなたはxの値答えてないからわからなかったんでしょ？

当方の#3では、質問者さんが#2を読み違いしてたんを
指摘した「だけ」であってね、こっちが回答を持ってるんかどうかは
関係ないと思うで。

回答No.3

asuncion

＞あなたの回答意味不明です。ｘの答えも書いてないし、
＞yなんてどこにも書いてませんが。
＞わからないなら答えないで！そういうのばっかり。

って言うてるけどね、#2と#1の両方をよ～く見比べてんか。

#2において

＞途中 (1/4) とかいてあるのは、全て (1/10)の間違いです

って書いてあってやね、その後に
(1/10)に訂正した式が書いてるやん。
これって、#1の回答で

＞(1+ix) / (3+i) = { (1-z)+iy } / (3+i) = (1/4) { (1-z) + iy} (3-i)
＞= (1/4) { (3-3z+y) + i(-1+z+3y) } となる。

って書いてあったところの1/4の部分をすべて1/10と
読み替えてね、っちゅうことやねん。
そこ、理解せなアカンわ。

＞yなんてどこにも書いてませんが

って書いてるけど、#1でちゃんと定義してるやんか。

補足

ていうか分かったの。参考書が合ってました！純虚数じゃなくて反対の実数にすると思い込んでいました。よくこういう凡ミスやるんです。

あなたはxの値答えてないからわからなかったんでしょ？でも考えてくれてありがとね^_^でもyとか必要ないですよ

回答No.2

tmppassenger

途中 (1/4) とかいてあるのは、全て (1/10)の間違いです

(1+ix) / (3+i) = { (1-z)+iy } / (3+i) = (1/10) { (1-z) + iy} (3-i)
= (1/10) { (3-3z+y) + i(-1+z+3y) }

補足

あなたの回答意味不明です。ｘの答えも書いてないし、yなんてどこにも書いてませんが。
わからないなら答えないで！そういうのばっかり。

回答No.1

tmppassenger

先ず初めに、x=1/3とすると {1+(1/3)i} / (3+i) = (1/3)(3+i)/(3+i) = 1/3で、これは純虚数ではないから、 少なくともx=1/3は間違っているというのは分からないといけない。

実数y, zを用いて x = y+iz と表すと、 x*i = -z + iyである故、
(1+ix) / (3+i) = { (1-z)+iy } / (3+i) = (1/4) { (1-z) + iy} (3-i)
= (1/4) { (3-3z+y) + i(-1+z+3y) } となる。

純虚数というのは、実部が0かつ虚部が0でない複素数を指すから、
3-3z+y = 0 かつ -1+z+3y≠0
前半から y = 3(z-1)。後半に代入して、10(z-1)≠0、即ちz≠1

よって、xは 3(z-1) + iz (zは1でない実数）の形で表される任意の複素数である。

実際 x=3(z-1)+iz (zは1でない実数）の時、
(1+ix) / (3+i) = { (z-1) (-1+3i)} / (3+i) = i(z-1)となって、これは純虚数である。