辞書式順序に対応する順序（オリジナル）

質問

いつもお世話になっています。

●順列
異なるｎ個のものから重複を許さないでｒ個並べる順列の総数をｎＰｒで表します。
○例
異なる3つのものａ，ｂ,ｃから重複を許さないで2つ並べる方法
3P2=6通り
を具体的に表記すると、
(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b)
と組を使って表記できます。
同じことですが、単射な写像f:{1,2}→{a,b,c}を用いて、
(f(1),f(2))=(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b)
と表記できます。 さらに逆写像を用いて、
(f^(-1)(a),f^(-1)(b),f^(-1)(c))=(1,2,φ),(1,φ,2),(2,1,φ),(φ,1,2),(2,φ,1),(φ,2,1)
と表記できます。 ただし、φは空集合。

●組合せ
異なるｎ個のものから重複を許さないでｒ個選ぶ組合せの総数をｎＣｒで表します。
○例
異なる3つのものａ，ｂ,ｃから重複を許さないで2つ選ぶ方法
3C2=3通り
を具体的に表記すると、
{a,b},{a,c},{b,c}
と集合を使って表記できます。
同じことですが、単射な写像f:{1,2}→{a,b,c}の像集合を用いて、
{f(1),f(2)}={a,b},{a,c},{b,c}
と表記できます。 さらに逆写像の個数を用いて、
(♯f^(-1)(a),♯f^(-1)(b),♯f^(-1)(c))=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
と表記できます。

●重複順列
異なるｎ個のものから重複を許してｒ個並べる順列の総数をｎ＾ｒで表します。
○例
異なる2つのものａ，ｂから重複を許して3つ並べる方法
2^3=8通り
を具体的に表記すると、
(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a),(b,b,b)
と組を使って表記できます。
同じことですが、写像f:{1,2,3}→{a,b}を用いて、
(f(1),f(2),f(3))=(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a),(b,b,b)
と表記できます。 さらに逆像を用いて、
(f^(-1)(a),f^(-1)(b))=({1,2,3},φ),({1,2},{3}),({1,3},{2}),({1},{2,3}),({2,3},{1}),({2},{1,3}),({3},{1,2}),(φ,{1,2,3})
と表記できます。 ただし、φは空集合。

●重複組合せ
異なるｎ個のものから重複を許してｒ個とる組合せの総数をｎＨｒで表します。
○例
異なる2つのものａ，ｂから重複を許して3つとる方法
2H3=4通り
を具体的に表記すると、
{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},{b,b,b}
と表記できます。 ただし、多重集合の意味。
同じことですが、写像f:{1,2,3}→{a,b}の像集合を用いて、
{f(1),f(2),f(3)}={a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},{b,b,b}
と表記できます。ただし、多重集合の意味。さらに逆写像の個数を用いて、
(♯f^(-1)(a),♯f^(-1)(b))=(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)
と表記できます。

それぞれ2通りの表記をしましたが、前者は辞書式順序ですが、後者はいったいどういった順序になっているのでしょうか？
今回、後者の表記を書くときは、前者の表記を参考に書きましたが、後者のみを書くとき、どういう順序に気を付けて書いたらいいのでしょうか？

回答No.1

okormazd

3P2、3C2、2H3は、順列や組合せの数を言っているだけであって、実際の、組合せなどの表記順序については何も言ってはいません。具体的な組み合わせなどをどのような順序で書くかは勝手です。あるいは集合の表記順序なども勝手です。書きやすいように書くだけでしょう。
「前者は辞書式順序」といっているが、それはあなたが勝手に決めて書いただけです。
したがって、「気を付けて書いたら」いいということもありません。あなたが書きやすく、読む人にわかりやすく、できれば系統的に書くのがわかりやすいというだけでしょう。

補足

僕の言葉足らずだったかもしれませんが、
辞書式順序に対応する何らかの順序があるように思うのですが、それが何か定式化できていない段階です。