余因子行列を求める写像について分かりません

質問

宜しくお願い致します。

f:C^{n×n}→C^{n×n}をf(A)はAの余因子行列とする写像とする時,
fは全射ですか?
全射でないなら像f(C^{n×n})はどんな集合になりますか?

H:={A∈C^{n×n};Aは正値エルミート}とし,
fをHからHへの写像と制限するとこのfは全単射になりますが,
fが全単射となるような制限は正値エルミートだけでしょうか?
他にあればご紹介下さい。

回答No.3

tmpname

更に間違えた... n-1, n-2, ..., 2の値を取らない、の誤りです

お礼

単射についてですが,

A~=B~を仮定した時,det(A)^n=det(B)^nが成立てばならA^{-1}=B^{-1}となり,A=Bが導けるので,
det(A)^n=det(B)^nなる条件が単射になる条件ですね。

0<det(A),0<det(B)の時に限るのでA,Bが正値エルミートの時に制限した時かつその時に限り写像fは全単射となるのですね。

補足

大変有難うございます。とても参考にさせていただいてます。

因みに単射にするにはどのような制限が考えてられ√のでしょうか?

回答No.2

tmpname

> f(A)のrankは、n-2, n-3, ..., 1の値を取らない
n-2, n-3, ..., 2の値を取らない、の誤りです。

回答No.1

tmpname

n=1の場合はいいとして、n=2の場合も実際に余因子行列を計算すれば、fは全射であることはすぐに分かると思います。

さて、n≧3の時はそうなりません。というのも
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11129345786
にあるとおり、rank f(A) = n (rank(A) = n), 1 (rank(A) = n-1), 0 （それ以外）となって、f(A)のrankは、n-2, n-3, ..., 1の値を取らないからです。

ところで、勝手な正則な行列Yを取った時、f(X) = Yとなるようなものがあるかといえば、C^{nxn}の場合はあります。
というのが、Yの逆行列をZとすると、実数k≠0に対し
f(kZ) = det(kZ) * inv(kZ) [inv(kZ)は kZの逆行列] = (k^n) * det(Z) * (1/k) * Y
= (k^(n-1)) * det(Z) * Y となるから、 k = {det(Z)} ^ (-1/(n-1)) とおけば、 f(kZ) = Yとなります。
従って、fを正則行列全体に制限したものは全射です。

一方、rank Y = 1なる勝手なYに対し、f(X) = YとなるYが必ず存在するかは、調べてません。