微分の意味

質問

微分の意味

ｙ＝ｆ（ｘ）について、ｆ（ｘ）が微分可能なとき、｜ｆ‘（ｘ）｜≦Mのとき、ｘが⊿ｘだけ変化したとき、最もｆ（ｘ）が変化しても、M⊿ｘであるとあるのですが、どうしてでしょうか?
微分との関係性がわかりません

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

無批判にΔxとか書く場合は大雑把な議論のことが多いので
まあ，ひとまずおおざっぱに

f'(x)ってのはxをΔxだけ動かしたときの平均変化率の極限だから

(f(x+Δx)-f(x))/Δx = f'(x)

という近似が成り立つので
分母を払えば

f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx

これからΔx>0だとすれば
|f(x+Δx)-f(x)|=|f'(x)|Δx <= MΔx

厳密な処理をするにはもうちょっと条件を整備しないといけないけど
平均値の定理を使えば，
近似でもなく，Δx>0の仮定も必要なく
(f(x+Δx)-f(x))/Δx = f'(c)
となるcがxとx+Δxの間に存在するから
同じような結果になるのです．

要は「微分は（接線の）傾き」ってことでしょう．