全微分の考え方について
全微分の考え方について
理解が不十分なので教えてください。
先ず定義ですが
Δf=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=fxΔx＋fyΔy+ε(Δx,Δy)…(1)
ただし、
fx、fyは各々で偏微分したもの
εは曲面を接平面で近似した時の誤差とする。
このε(Δx,Δy)がベクトル(Δx,Δy)の距離よりも先に0になると良いので。
lim[(x,y)→(0,0)] ε(x,y)/√(x^2+y^2)…(2)
この(1)(2)が全微分可能の条件である。
具体例でいきますと、
√(1-x^2-y^2)が(0,0)で全微分可能であると示します。細かい計算は省略しますが、
fx=-x/√(1-x^2-y^2),x=0⇒fx=0
fy=-y/√(1-x^2-y^2),y=0⇒fy=0
f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=√(1-(x+Δx)^2-(y+Δy)^2)-√(1-x^2-y^2),
x,y=0⇒=√(1-(Δx)^2-(Δy)^2)-1
定義に代入して√(1-(Δx)^2-(Δy)^2)-1=ε(Δx,Δy)
∴lim {√(1-x^2-y^2)-1}/√(x^2+y^2)=
lim {√(1－(x^2+y^2))-1}/√(x^2+y^2),分子を有理化して、
lim {2-(x^2+y^2)}/{√(x^2+y^2)(√(1－(x^2+y^2))+1)},全体を√(x^2+y^2)で除して
iim {(2-(x^2+y^2))/√(x^2+y^2)}/)(√(1－(x^2+y^2))+1)
lim[(x,y)→(0,0)] {(2-(x^2+y^2))/√(x^2+y^2)}/)(√(1－(x^2+y^2))+1)=0/2=0
以上より全微分可能と言える。
という解釈でよろしいでしょうか？
お手数をかけます。
お礼
回答ありがとうございます f(x)のy微分って０でいいんですか！ 初めて知りました 勉強になりましたー