確率微分方程式

質問

確率微分方程式
(1) dx=-xdt+(2x+x^2)dw
の性質を解析する際、ウィーナー項
（平均ゼロ、分散１とします。）
を線形近似して
(2) dx=-xdt+(2x)dw
としたものは、(1)の原点近傍の情報を
与えるものでしょうか？

回答No.2

noname#108554

すると、離散化してしまっていいですか？

理由：定常といっても、Xは拡散していくので定常なのはdXだろう。
　　　しかし、dX、または、dX/dtは意味のある有限量ではないので、
　　　それなら最初から離散化してX(t+1)-X(t)という量が
　　　定常であることを仮定したほうがいい。

で、その上で、数値計算すればいいのでは？
※この推論があってるかどうか確信はありません。

お礼

そうですね、定常なのは dx ですね。
実際、dx=-xdt+(2x+x^2)dw に対して、
シミュレーションでは
x' = x - ex + (2x+x^2)sqrt(e)w
x' = x - ex + (2x)sqrt(e)wの比較を行っています。
（e は微小サンプリング時間、w は
平均ゼロ、分散１の標準ウィーナー過程です。）
微小初期値 x(0) に対して、x(t) も微小である
間は両者の振る舞いは非常に近い
（定量化はしていませんが）のですが、
確率項の影響で一旦、原点近傍から離れると、
（当然ですが）両者の振る舞いは、たとえ
原点近傍であっても、以降で
全く異なったものになってしまいます。
確定系に対しては、我々は頻繁にある点まわりの
線形近似を行い、その周辺での振る舞いが
元の非線形系の振る舞いを表現していることが、
数学的な表現で、定理として保証されているのに
対して、確率微分方程式では、そういった保証が
ないのでしょうか？
ただ、微小初期値から出発して、さらに
微小時間に限ってならば、線形近似の保証が得られる
とは思います。

回答No.1

noname#108554

考えてみたんですが、
1.「原点近傍の情報を与える」とは、どういう意味で使ってますか？
　例えば、原点近傍で、(1)と(2)の
　分布関数(Fokker-Planckの解)の差の絶対値が
　オーダーexp(λx)でかけるとすると
　情報を与える⇔λ=0など。
2.定常であることを仮定していいですか？
3.もしも、定常でないとすると、初期条件はデルタ関数で与えるのですか？

以上の疑問に答えていただいても回答できる自信は
まったくないですが・・・

お礼

ありがとうございます！
（返事が遅くなり、申し訳ありませんでした。）
原点近傍での、「振る舞い」を考えていました。
x～0 のとき、x^2 の項が与える影響はほとんど
無視でき、このとき、dx=-xdt+(2x)dw
の厳密解が求まるので、それの振る舞いが
x～0 近傍の様子を表してはいないでしょうか？
このとき、x～0 近傍しか見ていないため、
分布関数の比較も、この近傍でしか意味をなさなくなるので、
近似の影響を定量化することが難しいのではないかと
考えます。（なので、「原点近傍の情報を与える」
という表現はそもそも、無理がありました。申し訳ありません。）
なお、確率過程は定常性を過程しています。（ウィーナー過程）