波動方程式の解について

質問

電磁気学についての質問ですが、
平面はのTEモードの波動方程式

δ^2 Hz/δx^2 - δ^2 Hz/δy^2 + k^2 Hz = 0
（_は下つき文字　^は上付き文字）
の解が
　Hz = H_0 exp(-jk sinθx + jk cosθy)
となっているのですが、途中の導出方法がわかりません。
Webで調べると変数分離を使うところまではわかりましたが、これだと、三角関数の形で答えが出てきますが、
どうして、指数関数の形で解がでるのかを教えてください。

回答No.2

abyssinian

質問の微方は、光ファイバなどの反射の式のようだから、符合は普通、
　∂2Hz/∂x2 + ∂2Hz/∂y2 + (ω^2/C^2)Hz = 0
になると思うんだけど。Cは光速ね。この式になる前の段階（rotHの成分の式）に代入するときの、符合をチェックしてみて。

　微方の解は一般にexpの形になるのだから、
入射波も H=Ho exp(jωt-jkz)と指数関数で表すのが普通です。指数関数は微分しても形が変わらないから扱いやすい。またexp(jθ)=cosθ+jsinθだから、サインコサインで書いたのと同じです。君が探した微方の解法もこの形に書けると思います。

　解のexp(…) のカッコの波数の式は、微方の解法には関係しないので、僕は立ち入りません。

　偏微分のｄはδとは違います、∂をコピペして漢字登録すべきです。僕は「デル」の読みで∂や∂/∂を登録してあります。∂はアルファベットｄの書体の一種です。

（体調の都合で一週間レスできず失礼しました。）

回答No.1

abyssinian

それは2階だけ考えても駄目だよ。
1階の微方から積み上げなければ無理。
　dx/dt+ax=0　…(1)
を変数分離して積分した、
　dx/x=-adt
　log(x)=-at+C
　x=ε(-at+C)
と相似な式
　x=ε(λt)　…(2)
は全て(1)の解になるのは基本だよね。

(2)の微分
　dx/dt=λε(λt)、d2x/dt2=λ^2ε(λt)
を2階微方に代入すると
　d2x/dt2+adx/dt+b=0　　　…(3)
　(λ^2+aλ+b)ε(λt)=0
となる。
カッコ内の2次方程式を (λ-A)(λ-B)=0 の形に書けばA,Bが解である。解の公式より
　λ1=(-a+√(a^2-4b))/2
　λ2=(-a-√(a^2-4b))/2
よって
　x1=ε(λ1t)　　x2=ε(λ2t)
これが2階微方の解です。

　ここから先は、僕が答まで書いてしまうと削除になるので、君の考えを補足に書いてください。

補足

なるほど、つまり変数分離したときに
x=x1+x2
y=y1+y2
が得られれば良いわけですね。
そして、
d2x/dt2+aX=0
d2y/dt2+bY=0
で
√a+b=ｋ１となるから
答えが導けるんですね。