単振り子の線形近似と離散化

質問

単振り子の問題について質問させて下さい。
振り子の紐の長さをL、振り子の先についている球の重さをm、糸の張力をT、重力加速度をg,角度をθとします。

1.単振り子の微分方程式を立て、その解の挙動をシミュレーションしなさい。
という問題が出たのですが、これは振り子の微分方程式d^2θ(t)/dt^2 = -(g/L)sinθをルンゲクッタ法で解いたものをグラフ化すればよろしいでしょうか？

2.単振り子のある平衡点回りで線形近似し、シミュレーションしなさい。
という問題がいまいちよく分からないのですが、振り子の微分方程式d^2θ(t)/dt^2 = -(g/L)sinθのsinθ(θ<<1の時)のテイラー展開をして、1次項までを消去し、d^2θ(t)/dt^2 = -(g/L)θとなるのですが、これは線形近似できているのでしょうか？

3.その線形近似を離散化して、シミュレーションしなさい。
2番が分からないので、3番ができないのですが、離散フーリエ変換でしょうか？

以上3問ですが、ヒントでも構いませんので、ご助力願います。

回答No.3

FT56F001 · ベストアンサー

>2番ですが、それだと微分方程式の解のグラフになりませんか？
>線形近似ですのでθ(t)=cos(ωt)*θ(0)+sin(ωt)*v(0)を平衡点周りでテイラー展開ではありませんか？
いえ，出題の意図は
「非線形の微分方程式は難しいけれど，線形化すると簡単になって微分方程式が数式で解けるでしょ」
というところにあります。つまり，線形化せよと言うのは，復元力のsinθをθに置き換えて，微分方程式を近似的な線形微分方程式にせよ，という意味です。あとは線形微分方程式の整備された理論にのっとって処理すればよいのです。

なお，非線形微分方程式は，数式で解けなくて力任せに数値計算する羽目になるだけでなく，線形微分方程式では起きない奇妙・複雑な現象(例えばカオスなど)も起きるので，手ごわいというか，泥沼にハマることもあります。非線形微分方程式の平衡点の安定性を，安定点周りで線形化した微分方程式(変分方程式)の特性根で調べる，という手法はよく使われます。

>3番はいまいちよく分かりませんが、エクセルで代入してやりたいと思います。
ええ，数値計算を前提にしています。3.で離散化した解と，2.の微分方程式は一致するはずなので確認下さい。

お礼

非常に分かりやすい回答をありがとうございました。今後の勉強の参考にさせてもらいます。

回答No.2

FT56F001

すいません，問題文を誤解していました。
2.で微分方程式としてシミュレーションしたのだから，3.は離散時間に変換するのが主眼ですね。
2.の答えは，
θ(t)=cos(ωt)*θ(0)+sin(ωt)*v(0)
と書けます。ただし，dθ(t)/dt=v(t)，ω=sqrt(g/L)で，θ(0),v(0)はt=0における初期値です。

これを時間刻みhで離散化した差分方程式
θ(t+h)=cos(ωh)*θ(t)+sin(ωh)*v(t)
v(t+h)=-sin(ωh)*θ(t)+cos(ωh)*v(t)
によって，t=0,h,2h,3h,4h,・・・・の値を求めよ，
という意味でしょう。

補足

度々の回答ありがとうございます。
2番ですが、それだと微分方程式の解のグラフになりませんか？
線形近似ですのでθ(t)=cos(ωt)*θ(0)+sin(ωt)*v(0)を平衡点周りでテイラー展開ではありませんか？

3番はいまいちよく分かりませんが、エクセルで代入してやりたいと思います。

回答No.1

FT56F001

1.質問者さんの理解でよいと思います。
2.線形近似できています。
3.復元力sinθについてルンゲクッタ法のプログラムができているのなら，
復元力をθに変えてシミュレーションするのがもっとも早いでしょう。
ルンゲクッタ法など数値積分なら「離散化」したことになるでしょう。
(線形微分方程式ですから，数式で解いてしまっても良いのですが)

補足

早速の回答ありがとうございます。
3番ですが、sinθをθに変えるそのシミュレーションだと、2番の線形近似のグラフになりませんか？
また、興味があるので、数式の解を解く方法を教えてくれませんか？