積分の計算

質問

1/√(x^2＋A)の積分は log|x＋√(x^2＋A)|

と書いていましたが、この過程がわかりません。
x=√A ×tanθとおいて計算していくと、

与式=∫cosθ/(1-sin^2θ）
　　=1/2×log(1＋sinθ)/(1-sinθ)
　　=1/2×log〔√(x^2＋A)＋x〕/〔√(x^2＋A)-x〕

分母分子に√(x^2＋A)＋x　をかけて変形したらどうしてもAが残ってしまいます。

どこがおかしいのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>分母分子に√(x^2＋A)＋x　をかけて変形したらどうしてもAが残ってしまいます。
(1/2)log(√(x^2＋A)＋x]/{√(x^2＋A)-x}
=(1/2)log({√(x^2＋A)＋x}^2/{(x^2＋A)-x^2})
=(1/2)log({√(x^2＋A)＋x}^2/A)
=log({√(x^2＋A)＋x}-(1/2)log(A)

いまは不定積分を行っているため、
定数項「-(1/2)log(A)」は積分定数Cに含めると吸収されてなくなります。
なので残りません。

回答No.3

arrysthmia

残った A は、
log(何か/A) = log(何か) - log(A) で log の外に
出すことができ、積分定数に吸収されます。

回答No.2

noname#95806

log|x＋√(x^2＋A)|　を微分したものが　1/√(x^2＋A)　になれば良いと思います。
ここで
y=LOG｜u｜,u=f(x) のときは　dy/dx=(1/u)*du/dx を利用します。
dy/dx=1/{x＋√(x^2＋A)}*[1+(2x/{2√(x^2＋A)})]
=1/{x＋√(x^2＋A)}*[{√(x^2＋A)+x}/√(x^2＋A)]
=1/√(x^2＋A)
となりますので
1/√(x^2＋A)の積分は log|x＋√(x^2＋A)|
ということになります。