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正6n角形の三つの頂点で作る三角形の個数は？
- 正6n角形の三つの頂点を結んで作る三角形の個数を求めたいです。
- 具体的には、正三角形・直角三角形・二等辺三角形の個数が知りたいです。
- ただし、目的の三角形を作るための三つの頂点の選び方をうまくnで表現することが難しいです。アイディアがあれば教えてください。
- いろは にほへと（@dormitory）
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1つの頂点の位置を固定したときに, 残る 2つの頂点の置き方を考えてみたら? 場合によっては外接円を考えると分かりやすいかもね.
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- shuu_01
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なんか簡単な問題に思えるのですが、どこか落とし穴あるのでしょうか？ （１）正三角形 正6n 角形のどれか１つの頂点を選ぶと、１つだけ正三角形を作れます それを 6n 倍すると、１つの三角形を３回 数えてしまうので、 ３で割った 2n 個となります （２）直角三角形 6n 個ある頂点のうち、中心を結んだ線の反対側の点以外の２個を選ぶと どちらかの点に直角な線を引いて、２個 直角三角形を作れます 6n 個から 2個選ぶのは 6nC2 ＝ 6n （ 6n － 1）/2 通り そのうち、ちょうど反対側の点を選ぶ 6n /2 通りを引いて 6n （ 6n － 1）/2 － 6n /2 しかし、上記は １つの直角三角形について２回 数えているので２で割り ｛6n （ 6n － 1）/2 － 6n /2｝/2 ＝ 9n^2 －3m （３）二等辺三角形 6n 個ある頂点のうち、ちょうど反対の点以外のどれからの点を 中心を結ぶ線と対象に２点 選ぶと、二等辺三角形が 6n /2 － 1 個できます このうち１個は正三角形で、正三角形だと 後で重複して数えてしまうので とりあえず、覗いて数えると 6n /2 － 2個となります 他のすべての点についても、その点を頂点とする二等辺三角形ができるので 6n （6n /2 － 2） ＝ 18n^2 － 12n ただ、正三角形も二等辺三角形に含まれるので、（１）を足して 18n^2 － 12n ＋ 2n ＝ 18n^2 － 10n 【答え】 （１） 2n 個 （２） 9n^2 －3m 個 （３） 18n^2 － 10n （正三角形も二等辺三角形に含めて計算しました） * これどっかの入試か試験問題？ それとも宿題？ 答えあってるかどうか気になるので、答えわかったら教えてください
お礼
熱心にご回答いただきありがとうございました。 当方社会人です。今日休みなので、再び学び直そうと一からやり直してるところです。(センターでは悲惨でしたが^^;) え～と、多分入試問題では無いと思います。略解はありましたので、いただいた回答を見ますと、(1)(3)は良いです。(2)は、mじゃなくてnを書きたかったのでしょうか？ いずれにせよ、(2)は私の質問にある通り18n^2-6n です。 しかし、求めるまでの説明にははっとしました。参考に致します。
- tsuyoshi2004
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(2)円周角を直角にすることを考えると、直角三角形になるためには一辺が直径になる場合です。 そうすると、引ける直径の本数は６ｎ／２＝３ｎです。 これであとはどの頂点を結んでもいいので、これに６ｎ－２をかけて、 ３ｎ（６ｎ－２）＝１８ｎ－６ｎ (3)１点を選んで、そこから左右に均等な頂点を選べばいいので、 ６ｎ×（６ｎ－２）／２＝３ｎ（６ｎ－２） ただし、ここから(1)で求めた正三角形がそれぞれ３回数えられているはずなので、４ｎを引く必要がある。 ３ｎ（６ｎ－２）－４ｎ＝１８ｎ－１０ｎ
お礼
そのようにスラスラと思い浮かべる事が羨ましいです。 私はn=1,2(六角形と十二角形)の場合を一々書いてしまいました。
お礼
ご回答ありがとうございます。 外接円は使いました。使わないと直角三角形の個数が求めにくいし、二等辺三角形も円の中心を通る直線があると説明しやすいので。 「正三角形を作る」場合では、選び出す三つの頂点、例えば、一点a1を定めて反時計回りにa[2],a[3],…,a[6n]と与えていくと、三つの頂点で添え数が最小のものをmとでもすれば、(m,m+2n,m+4m)の組合せになると思うのですが、何と言うか、うまく「繋いで」説明出来ないのです。頂点の選び方の総数と頂点の添え数の関係式をうまく「繋げ」たいところです。 一応単元としては場合の数ですが、漸化式を自分で作るのと同様に、数列の扱いにも手慣れていないと中々難しいと感じます。
補足
もう少し粘ってみます。説明に抜け目が無さそうになったら締め切ろうと思います。