2つの命題の違いについて

質問

数列{Xｎ}に関する以下の命題を考える。

1．任意の自然数nに対してある正の数Kが存在し、
|Xn|≦Kが成り立つ。
∀n∈N{∃K＞0；｜Xn｜≦K}

2．ある正の数Kが存在して任意の自然数ｎに対し、
|Xn|≦Kが成り立つ。
∃K＞0{∀n∈N；｜Xn｜≦K}

この2つはどう違うのでしょうか？
どなたか分かる方、具体例を用いながら分かりやすく教えてください。

回答No.1

kaku-houkou · ベストアンサー

結論から先に申し上げますと、
正数ｋが自然数ｎの取り方によらず
一意に定まるかどうかの違いです。

両者の違いを示す簡単な例としては
Xn=nというのがありますね。

これはどんな自然数nを取ろうとも
それより大きなn+1という正の数が存在するので
1の命題を満たします。
(つまり1の場合は任意にnを決めた後で、
命題を満たすkが常に存在すればよい。)

しかし正の数kをどれほど大きく取っても
それより大きな自然数nが存在し、
よってXn>kとなる自然数nが取れてしまい、
2の命題を満たしません。
(つまり2の場合は先にkを決めた後で、
任意のnに対して命題が成立する必要がある。)

と両者の命題はこのように違うのですが
解ってもらえたでしょうか？
(私の日本語力が稚拙で説明が難しい…)

お礼

なるほど。
ありがとうございました。