3の倍数でない自然数の列

質問

自然数の数列
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ,,,
から
3の倍数の数列
3 6 9 12 15 18 21 ,,,
を取り除くと、
3の倍数でない自然数の列
1 2 4 5 7 8 10 11 ,,,
が得られますが、その一般項を求めたいのですが。

数列をa[n]とすると、
a[n] = 3+a[n-2]
という漸化式が成り立つことは分かりましたが、どう解けばよいのでしょうか?

一般に、自然数の等差数列や等比数列やその他の有名数列があったとき、それら取り除いた数列の一般項はどのように求めればよいのでしょうか?
そのほか、関連する話題があればいろいろ教えてください。

回答No.4

jokyoju · ベストアンサー

a[n] = n+[(n-1)/2]
ちなみに
４の倍数を除いた場合は
a[n] = n+[(n-1)/3]
Pの倍数を除いた場合は
a[n] = n+[(n-1)/(P-1)]

お礼

ありがとうございます。

3の倍数でない自然数の列
1 2 4 5 7 8 10 11 ,,,
について、

1.場合分け
n が偶数であれば a[n] = 3*((n-2)/2) + 2
n が奇数であれば a[n] = 3*((n-1)/2) + 1

2.一つの式
a[n]=(-3/4)+(1/4)((-1)^(n-1))+(3/2)n

3.一つの式
a[n]=1 + 3/2(n-1) - {sin(n-1)π/2}^2 / 2

4.ガウス記号、床関数
a[n] = n+[(n-1)/2]

という回答をいただきました。

3の倍数でない整数の列
,,, -10 -8 -7 -5 -4 -2 -1 1 2 4 5 7 8 10 11 ,,,
を考えると、
a[2]=2,
a[1]=1,
a[0]=-1,
a[-1]=-2
a[-2]=-4
とするのがいいと思います。

それでもすべての式が成り立つようです。

回答No.3

noname#47975

少々邪道だとは思いますが、

まず、a[n]については、
1, 2.5 ,4, 5.5 , 7 ... という等差数列b[n]と、
0, 0.5, 0 ,0.5 , 0....の数列c[n]との差を取れば
良いと思います。

すなわち、
a[n] = b[n] - c[n]
です。
b[n]は等差数列なので、

b[n] = 1 + 3/2(n-1)

c[n]の方は、例えば以下のような式があります。

c[n] = {sin(n-1)π/2}^2 / 2

お礼

ありがとうございます。

3の倍数でない自然数の列
1 2 4 5 7 8 10 11 ,,,
について、

1.場合分け
n が偶数であれば a[n] = 3*((n-2)/2) + 2
n が奇数であれば a[n] = 3*((n-1)/2) + 1

2.一つの式
a[n]=(-3/4)+(1/4)((-1)^(n-1))+(3/2)n

3.一つの式
a[n]=1 + 3/2(n-1) - {sin(n-1)π/2}^2 / 2

4.ガウス記号、床関数
a[n] = n+[(n-1)/2]

という回答をいただきました。

3の倍数でない整数の列
,,, -10 -8 -7 -5 -4 -2 -1 1 2 4 5 7 8 10 11 ,,,
を考えると、
a[2]=2,
a[1]=1,
a[0]=-1,
a[-1]=-2
a[-2]=-4
とするのがいいと思います。

それでもすべての式が成り立つようです。

回答No.2

kkkk2222

確かに、a[1]=1、a[2]=2、a[n+2]=3+a[n]
が成立しているようです。最後の形は、綺麗にはならなさそうです。

まず、＜3＞を左右に振り分けたいのですが、此のままでは、振り分け出来ないので、

a[n+2]-(A(n+2)+B)=a[n]-(An+B) と置きます。
a[n+2]=a[n]-(An+B)+(A(n+2)+B) と成り、

-An-B+An+2A+B=3
A=(3/2) と決定します。

a[n+2]-(3/2)(n+2)=a[n]-(3/2)n

新数列、b[n]=a[n]-(3/2)n として、
b[1]=a[1]-(3/2)=1-(3/2)=(-1/2)
b[2]=a[2]-3=2-3=(-1)
b[n+2]=b[n]

隣接三項間の漸化式の特性解を求めると、

X^2=1, α=1, β=-1、何だか、ややこしいので、α,βと±1を併用しす。

（＃１）　b[n+2]-βb[n+1]=α(b[n+1]-βb[n])
（＃２）　b[n+2]-αb[n+1]=β(b[n+1]-αb[n]) と書けて、

b[n+1]-βb[n]=(b[2]-βb[1])(α^(n-1))
＊b[n+1]+b[n]=(-3/2)・・・（此れだけでも出ますが）

b[n+1]-αb[n]=(b[2]-αb[1])(β^(n-1))
＊b[n+1]-b[n]=(-1/2)(β^(n-1))

＊b[n+1]+b[n]=(-3/2)
＊b[n+1]-b[n]=(-1/2)(β^(n-1))、
上から下を引いて、
２b[n]=(-3/2)+(1/2)(β^(n-1))、
b[n]=(-3/4)+(1/4)((-1)^(n-1))

b[n]=a[n]-(3/2)n　より、
a[n]=(-3/4)+(1/4)((-1)^(n-1))+(3/2)n

＊＊　a[n]=(-3/4)+(1/4)((-1)^(n-1))+(3/2)n

確認のため、
a[1]=(-3/4)+(1/4)+(3/2)=(-1/2)+(3/2)=1
a[2]=(-3/4)-(1/4)+3=-1+3=2
a[3]=(-3/4)+(1/4)+(9/2)=(-1/2)+(9/2)=4
a[4]=(-3/4)-(1/4)+6=-1+6=5
・・・
＞＞それら取り除いた数列・・・関連する・・・。
＜平方数でない自然数の数列＞は、
＜ガウス記号・床函数＞のようですが、一般には困難に思われます。

お礼

ていねいな回答に感謝します。

回答No.1

koko_u_

n が偶数であれば a[n] = 3*((n-2)/2) + 2
n が奇数であれば a[n] = 3*((n-1)/2) + 1

n が偶数であれば (-1)^n = 1
n が奇数であれば (-1)^n = -1

これを組わせてどうぞ。

お礼

すばやい回答に感謝します。