超関数の証明

質問

∫[-∞～∞]e^(-jωt)dt=2πδ(ω)
となるのは何故なんでしょうか？フーリエの本を読んでもよくわからないので、できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

sakura_214 · ベストアンサー

ある関数fをFourier変換したものをFとし，それをFourier逆変換で戻すと，元の関数fに戻る必要があります．すなわち
F(k)=(1/2π)∫[x=-∞～∞]f(x)e^(-ikx)dx　（Fourier変換）---(1)
f(x')=∫[k=-∞～∞]F(k)e^(ikx')dk　（Fourier逆変換）---(2)
としたとき，(1)を(2)の右辺に代入した際，右辺はf(x')に一致しなければなりません．

そこで実際代入してみると，
(2)の右辺
=∫[k=-∞～∞]((1/2π)∫[x=-∞～∞]f(x)e^(-ikx)dx)e^(ikx')dk
=∫[x=-∞～∞]f(x)((1/2π)∫[k=-∞,∞]e^(-ik(x-x'))dk)dx
となります．これがf(x')に一致するということなので，δ関数の定義より
f(x')=∫[x=-∞～∞]f(x)δ(x-x')dx
であることに注目すれば
δ(x-x')=(1/2π)∫[k=-∞,∞]e^(-ik(x-x'))dk
であるとわかります．

お礼

返事が遅れてしまいすみませんでした。
確かにNo.3さんの証明だと簡単に説明できますね。
また機会があればよろしくお願いします。

回答No.2

noname#7077

デルタ関数δ(x)の定義は、x=0のときδ(x)=無限大、それ以外はδ(x)=0です。

まず形式的に付いてる2πは、三角関数を一周期に亘って時間積分する際に出る係数です。

次に、e^(-ωt)=cos(ωt)-jsin(ωt)と分けます。
ω=0でない場合は、sinもcosも一周期時間の範囲を積分すると0です。-∞～∞はそれを無限回繰り返すからやはり=0です。
ω=0のときはcos(0)=1、sin(0)=0ですから-∞～∞の積分をするとcosの項によって無限大になります。
つまりωが0でないなら結果は0、ωが0なら結果は無限大、これはδ関数の定義と同じなので、δ関数と等しい。

無限大に2πを掛けるのはフーリエ変換の式との形式合わせです。

お礼

返事が遅れてしまいすみませんでした。
説明されているように、オイラーの公式を用いて計算する方法は思いつきませんでした。
おかげで理解を深めることができました。ありがとうございました。

回答No.1

hinarikako

この超関数の厳密な証明はかなり長くなります。詳細な証明は”工学のための応用フーリエ積分”超関数論への入門的アプローチ　オーム社　の書籍に書いてあります。ご参考まで
なお、この本はすでに絶版なので大学の図書館にあると思います。

お礼

返事が遅れてしまいすみませんでした。
紹介いただいた本ですが、大学の図書館にはありませんでした。しかし、しっかりと証明されている本が見つかり納得できました。