cosω0tの周波数スペクトル

質問

教科書で
f(t) = cosω0tの周波数スペクトルをフーリエ変換を用いて求めよ
という問いがあり、解答には

cosω0t = ( e^(jω0t) + e^(-jω0t) ) / 2 より
Fc(ω) = ∫cosω0t・e^(-jωt)
=(1/2) * { ∫e^(-j(w-ω0)t)dt + ∫e^(-j(w+ω0)t)dt }・・・(a)
=(1/2) * { 2πδ(ω-ω0) + 2πδ(ω+ω0) }・・・(b)
=π * { δ(ω-ω0) + δ(ω+ω0) }
（積分範囲は -∞～∞ です）

とありますが、(a)から(b)への式変形がわかりません。
基本的な問題なのだと思いますが、フーリエ変換は数学で少しした程度で、
πやδがなぜ出るかがわかりません。
式が見にくいと思いますがよろしくお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

wはωのことでしょうか．

(a)→(b)はデルタ関数の定義みたいなものです．
多分，教科書の前のほうに書いてあるのではないでしょうか．
とりあえず，ω≠ω0のとき0，ω=ω0のとき積分不能（∞）なことはわかると思いますが，ちゃんと説明するのは，超関数とは何かから始まって，けっこう大変だと思います．

例えば，δ(t)をフーリエ変換してみると，
Fδ(ω) = ∫δ(t)・e^(-jωt)dt
　　　= 1
なんで，この逆変換を考えて
δ(t) = F^-1[Fδ(ω)]
　　 = 1/(2*π)∫1・e^(jωt)dω
が成り立つとすれば，δ(t)が偶関数であることから，
δ(t) = 1/(2*π)∫e^(-jωt)dω
ということになります．

とりあえず，こんな説明でわかった気になってればいいんではないでしょうか．

お礼

情報通信の教科書なのでフーリエ変換についてはあまりふれてなく載ってないみたいです。
でも式変形で導けることが分かって納得しました。
ありがとうございました。

回答No.1

lifeborderline

(a)でwが急に出てきていますが、
wの意味がよくわからないので、
補足をお願いします。

補足

(a)式はwではなくωの間違いでした。