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フーリエ係数を求める方法とH(j*ω)の導出方法についての質問
- MITのOpenCourseWareで学習中の質問者が、フーリエ係数を求める方法とH(j*ω)の導出方法について質問しています。
- 質問者は、周期的な三角波のフーリエ係数akを求める際に正しい方法で計算したはずなのですが、解答と異なる結果になってしまい困っています。
- また、質問者はH(j*ω)の導出方法も分からず、どのようにすれば導き出すことができるのか疑問に思っています。
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A#1でのミス以外にさらにミスが見つかりましたのでA#1の訂正を追加します。 ＞=∫[0-1/4]4*t*e^(-j*k*ω*t)dt ＞ + ∫[1/4-3/4](-4*t+2)*t*e^(-j*k*ω*t)dt + ∫[1/4-3/4](-4*t+2)*e^(-j*k*ω*t)dt ＞ + ∫[3/4-1](4*t-2)*t*e^(-j*k*ω*t)dt + ∫[3/4-1](4*t-4)*e^(-j*k*ω*t)dt ＞=1/(-j*k*ω){[4*t*e^(-j*k*ω*t)][1/4-0] - ∫[0-1/4]4*e^(-j*k*ω*t)dt ＞ + [(-4*t+2)*e^(-j*k*ω*t)][3/4-1/4] - ∫[3/4-1/4]-4*e^(-j*k*ω*t)dt + [(-4*t+2)*e^(-j*k*ω*t)][3/4-1/4] - ∫[3/4-1/4](-4)*e^(-j*k*ω*t)dt ＞ + [(-4*t-2)*e^(-j*k*ω*t)][1-3/4] - ∫[1-3/4]-4*e^(-j*k*ω*t)dt} この行もミスが重なりました。 + [(4*t-4)*e^(-j*k*ω*t)][1-3/4] - ∫[1-3/4] 4*e^(-j*k*ω*t)dt} あとは根気よくミスしないように計算してみてください。なお、ω=2πとおいておいた方が式の簡単化のために役に立つかと思います。 ■ak=1/T∫[T]x(t)*e^(-j*k*ω*t)dtの積分の積分範囲は [-T/2～T/2]=[-1/2～1/2] で行った方が対照性があって結果の式が整理しやすい気がします。 →ak=1/T∫[(-T/2)->(T/2)]x(t)*e^(-j2πkt/T)dt =∫[(-1/2)->(1/2)]x(t)*e^(-j2πkt)dt =∫[(-1/4)->(1/4)] 4t*e^(-j2πkt)dt +∫[(-1/2)->(-1/4)](-2-4t)*e^(-j2πkt)dt +∫[(1/4)->(1/2)](2-4t)*e^(-j2πkt)dt =... ■x(t)が奇関数であることと e^(-jφ)=cosφ-j sinφ の関係を使うと ak=1/T∫[T]x(t)*e^(-j2πkt)dt =2∫[0-(1/2)]x(t)(-j)sin(2πkt)dt =-j2π∫[0-(1/2)]x(t)sin(2πkt)dt となります。 この式からフーリエ係数を求めることも出来ます。 ■MITの解答の解説 [part a]では以下の関係を巧く使っていますね。 ●x(t)の2階微分x"(t)が次のδ関数で書けること x"(t)=8{...+δ(t+(1/4))-δ(t-(1/4))+δ(t-(3/4))-...} ●g(x)=x"(t)のフーリエ係数bkと x(t)のフーリエ係数akの間の関係は, an=-bn/(2kπ)^2 【証明】 ω=2π/Tより（part1の質問ではT=1） ak*T=∫[0-T]x(t)e^(-j2kπt/T)dt ={1/(-j2kπ/T)}{[x(t)e^(-j2kπt/T)][T-0]-∫[0-T]x'(t)e^(-j2kπt/T)dt} ={1/(-j2kπ/T)}{-∫[0-T]x'(t)e^(-j2kπt/T)dt} ={1/(-j2kπ/T)}{-∫[0-T]x'(t)e^(-j2kπt/T)dt} =-{1/(-j2kπ/T)^2}{[x'(t)e^(-j2kπt/T)][T-0]-∫[0-T]x"(t)e^(-j2kπt/T)dt} =-{1/(-j2kπ/T)^2}{-∫[0-T]x"(t)e^(-j2kπt/T)dt} ={1/(-j2kπ/T)^2}∫[0-T]x"(t)e^(-j2kπt/T)dt ={1/(-j2kπ/T)^2}∫[0-T]g(t)e^(-j2kπt/T)dt ={1/(-j2kπ/T)^2}T*bn ∴an=bn*{1/(-j2kπ/T)^2}=-bn/(2kπ/T)^2 ＞part bでは、 H(j*ω)をどうすれば導出出来るのかが分かりません。 問題だけを解こうとしても理解不能になります。 先ずフーリエ変換（フーリエ積分）を勉強してから、問題に取り組んでください。H(jω)については合成積（畳込み）のところが関係してきます。 http://www-ise2.ise.eng.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/study/dsp/fourier.html http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B http://www.tuat.ac.jp/~khbase/ko_prof_lectures/elec_math_web_note-2new.pdf http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node82.html http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-5Fourierhenkan.htm
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- oyaoya65
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＞=∫[0-1/4]4*t*e^(-j*k*ω*t)dt ＞ + ∫[1/4-3/4](-4*t+2)*t*e^(-j*k*ω*t)dt ＞ + ∫[3/4-1](4*t-2)*t*e^(-j*k*ω*t)dt この行は以下のミスです。 + ∫[3/4-1](4*t-4)*t*e^(-j*k*ω*t)dt ＞=1/(-j*k*ω){[4*t*e^(-j*k*ω*t)][1/4-0] - ∫[0-1/4]4*e^(-j*k*ω*t)dt ＞ + [(-4*t+2)*e^(-j*k*ω*t)][3/4-1/4] - ∫[3/4-1/4]-4*e^(-j*k*ω*t)dt + [(-4*t+2)*e^(-j*k*ω*t)][3/4-1/4] - ∫[3/4-1/4](-4)*e^(-j*k*ω*t)dt ＞ + [(-4*t-2)*e^(-j*k*ω*t)][1-3/4] - ∫[1-3/4]-4*e^(-j*k*ω*t)dt} この行もミスが重なりました。 + [(4*t-4)*e^(-j*k*ω*t)][1-3/4] - ∫[1-3/4] 4*e^(-j*k*ω*t)dt} この先も計算を待ち合えないようにやってみてください。(ωは2πを入れた方がいいですね。) フーリエ係数を計算する場合 積分区間を-T/2～T/2、つまり -1/2～1/2 x(t)が奇関数であることを上手く使うと 計算が簡単になるかと思います。
お礼
ご回答ありがとうございました。 これからもっと勉強していこうと思います。