クントの実験

質問

クントの実験でガラス棒を波源とした時、棒中の変位をξとして棒の中を伝わる縦波の波動方程式は、　　　　　∂ξ^2/∂ｔ^2＝E/ρ*∂^2ξ/∂x^2　｛＾＝二乗を示す　ｔ＝時間　E＝棒のヤング率　ρ＝棒密度　x＝距離｝で与えられるそうなんですけど、イマイチ理解できません。なぜ上の様な式になるのですか？知っているかたアドバイスお願いします☆

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

2乗はここですよね？
　 ↓
∂^2ξ/∂t^2＝(E/ρ)∂^2ξ/∂x^2

１．
この式のふるさとは、振り子や、バネと質量、の振動の式です。

　　質量ｍ●─バネ─壁

外力が無い自由振動は

　　質量の慣性力+バネの復元力=0

静止状態からの変位をξ、バネのヤング係数をEとすれば上式は
　　ｍ・d2ξ/dt2 = -Eξ
　　d2ξ/dt2 = -(E/ｍ)ξ

係数を無視すると、
　　d2ξ/dt2 = -ξ
これを満足するξは 『 ２回微分したら元に戻る 』 関数です。sin(x)やcos(x)は２回微分すると-sin(x)や-cos(x)になって上の式にピッタリ当てはまります。だからこれらがξです。
さらに、
sin(ａx) を２回微分すると係数 ａが２回外に出て -ａ^2・sin(ａx) となることから、上式の(E/ｍ)がａ^2 に相当します。解の中にsin(√(E/ｍ)・t) と入り込みます。係数は√で入り込むのです。

２．
つぎに、
ξがξ= sin(x+y) になる微分方程式はどんな形か。上の方法に習って、xだけで2回偏微分、yだけで2回偏微分すると、
　　∂2ξ/dx2 = -sin(x+y)
　　∂2ξ/dy2 = -sin(x+y)
だから、
　　∂2ξ/dy2 = ∂2ξ/dx2
という微分方程式です。

３．
sin(ａx+ｂy)と係数が付いた場合；
数学ではａやｂはただの係数（倍率）ですが；
物理的には；
sin(…) のカッコの中は無次元数でないといけないので、次元が逆のものが必ずペアになっています。例えばxが長さならａは 1/長さ （例えば波数ｋ）、例えばyが時間ならｂは 1/時間 （例えば周波数ｆ）というふうに。　もし無次元でなかったら；途中が間違ってると断定できます。
（前記の第２項では、xもyも次元を持てないという事を分かっていただきたい。）

４．
以上、
振り子や質点+バネの振動から出発して、一般的に
ξ= sin(ax+by) の形の振動は、
∂2ξ/dy2 = c^2・∂2ξ/dx2　の微方になるのだ、ということでした。
cが伝播(denpa)速度に対応します。

お礼

良くわかりました!丁寧な説明ありがとうございます☆

回答No.1

noname#6200

クントの実験ってのが良く分からないので聞き流してもらって結構です。

式を見る限り弾性波そのものだと思います。
それじゃあ棒を伝わる波について考えてみますね。
以下私の妄想です

波が無い状態でx,x+dx間の微小空間dxがあります。
ここで時刻tにおけるそれらの点の縦変位をξ,ξ+dξとし、また断面Sの応力をp,p+dpとします。
そうするとdx部分の運動方程式は
ρSdx ∂ξ^2/∂ｔ^2=Sdp
つまり
∂ξ^2/∂ｔ^2=(1/ρ) dp/dx
ここでdx部分はdξ=(∂ξ/∂x)dxだけ伸びてるのでp=E(∂ξ/∂x)となります。
代入すると∂ξ^2/∂ｔ^2＝E/ρ*∂^2ξ/∂x^2になります。

お礼

とても参考になりました。ほんとありがとうございます☆