ポアソン比と張力の関係！？

質問

長さｌ、ヤング率Ｅの一様な棒の一端を固定し、
他端にＴの張力を加えたとき、棒の体積ΔＶだけ
変化した。ポアッソン比を求めよ。

という問題で苦戦しています。
ポアッソン比とはσ＝Δｄ/d/Δl/l
と書いてあるのですがまったく分かりません。
いろいろ調べてみたのですが、E=2G(1+μ)この
公式はよく分からないし、
ｐ（張力）＝Ｅ（ヤング率）a（伸び率）
と書いてあったのですが、その伸び率も分かりません。
火曜日提出の課題なのですが分からないので教えてください。
お願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

普通の材料力学のテキストに載っているような問題ですが、テキストを読むよりここでの回答の方がよく理解できた（？）ということもままありますから（←以下の回答がそれに該当するかどうかはまったく別）、蛇足ながら知識の整理をと回答のヒントを書いておきます。
●ポアソン比・・・縦と横の歪みの比
長さL0、直径ｄ0の丸棒（あるいは横幅ｄ0の角棒）を引っ張っると棒は引っ張り方向に△ｌだけ伸びて長さがLになり、幅は△ｄだけ縮んでｄになったとします。このとき単位あたりの伸びあるいは縮みを”ひずみ”と呼んでεで表すと2つのひずみが定義できますね。すなわち
(1)　ε＝(L－L0)/L0＝△L/L0　・・・縦ひずみ
(2)　ε’＝（ｄ－ｄ0)/ｄ0＝△ｄ/ｄ0・・・横ひずみ
この縦ひずみと横ひずみの比は材料によって一定の値をとることが知られていますが、その比を
(3)　ν＝－ε’/ε　
と表して、このν（質問ではσと表記）をポアソン比と
呼んでいます。
●Ｅ：ヤング率・・・応力と歪の間の比例係数
一端が壁に固定されている棒を考える(←両端から引っ張ってもよい）。引っ張り方向に垂直な断面ＡＢの面積をＡとし、引っ張る力をＰとした場合、単位断面積あたりに作用する力を応力（引っ張る場合：引っ張り応力、圧縮する場合：圧縮応力という）と呼び次式で定義されます。
(4)　σ＝Ｐ/Ａ　・・・応力
応力(4)とひずみ(1)の間に比例関係がある場合、比例乗数をＥとすると
(5)　σ＝Ｅε
と表され、この関係をフックの法則と呼んでいますが、この比例定数Ｅをヤング率（縦弾性係数）と呼んでいます。
●横弾性係数・・・せん断応力とせん断歪みの間の比例係数
右図のように一端に　　　Ａ｜　　　　↓Ｐ
加重Ｐが作用する場　　　　｜－－－　
合、ＡＢ面には上の　　　↑｜　　　　｜
方向に応力が発生し　　　Ｂ｜－－－
その合計は加重Ｐに　　　　｜
等しくなります。こ
のような作用面に沿って生じる応力を「せん断応力」と呼び、これは次式で定義されます。
(6) τ＝Ｐ/Ａ　（Ａ：ＡＢの面積）
次に、６面体ＡＢＣＤの周辺にせん断応力が作用すると、変形します。その変形分をせん断歪と呼び、普通γの記号で表されます（図はここではうまく書けませんので適当なテキストを見てください）。せん断応力τとせん断歪γの間にも比例関係が成立して
(7)　τ＝Ｇγ
なる関係があります。このＧを横弾性係数（あるいは剛性率）と呼んでいます。
●Ｅ＝２Ｇ（１＋ν）
以上の話から、この式はヤング率と横弾性係数、ポアソン比の間に成り立つ関係を表していることが分かります。この式は理論的に導かれますが、ここでは大変なので適当な材料力学のテキストを参照してください。
＞ｐ（張力）＝Ｅ（ヤング率）a（伸び率）
と書いてあったのですが
（4）と（5）より
(8)　Ｐ/Ａ＝Ｅε⇒Ｐ＝ＥεＡ⇒Ｐ＝Ｅε（Ａ：単位面積とする）

＞長さＬ、ヤング率Ｅの一様な棒の一端を固定し、
他端にＴの張力を加えたとき、棒の体積ΔＶだけ
変化した。ポアッソン比を求めよ。

・棒の断面は単位面積（ｄ＝1）と仮定します。
・△V＝V－V’
　　V＝L×A＝L
　　V'＝(L＋△L)×（d－△d）^2
　　　＝(L＋△L)×(1－2△d)・・△d^2は微小量でカットした
　　　＝L－2L△d＋△L　・・2△L△dは微少量でカット
　△V＝2L(△d－△L/L）＝2L(ε’－ε)
　　　＝2εL(－ν－1）　・・(1)(2)を使う
　　　＝－2PL(ν＋１)/E　・・(8)を使う
これから
　ν＝－(E△V/2PL＋1)
となったが間違っているかもしれません（←その可能性大）。ご自分で計算してみてください。

お礼

こんなに早くとてもとても丁寧な回答を
ありがとうございます。弾性のところで
でた物理学の問題でしたので、専門の
材料力学というところまで頭が回らなかったんです。
本当に感謝します。ありがとうございました。

回答No.1

martensite807

長さがｌ、直径がｄの一様な棒の引張りで考えてみましょう。
張力ｐを与えたとき、長さが（ｌ＋Δｌ）、直径が（ｄ－Δｄ）になったとします。（引張り方向に伸びたら、半径方向には縮む。）
このときの体積変化ΔVは、以下のようになります。
ΔV＝π/4・（ｄ－Δｄ）^2・（ｌ＋Δｌ）－π/4・d^2・l
（→単純に（引張り後の体積）－（引張り前の体積））
さて、上式を展開してみます。ここでポイントはΔl、Δdの値は非常に小さいとして、それらの２次オーダーは無視します。つまり、Δｄ^２、ΔｌΔｄの項は近似的に０とします。すると最終的に、
ΔV=π/4(Δld^2-2dlΔd)
となります。ここで両辺をV(引張り前の体積)で割ります。
ΔV/V＝Δl/l-2Δd/d
ポアソン比を用いると、
ΔV/V＝Δl/l-2σΔl/l
ΔV/V＝Δl/l（1-2σ）
となります。伸び率とはΔl/lのことですから、フックの法則を単純に適用すると、
ΔV/V＝ｐ/E(1-2σ）
となります。張力ｐ、ヤング率Ｅ，体積変化ΔＶ/Vが分かっていれば、上式からポアソン比が求められます。

説明に不備があるかもしれませんが、このような感じでいかがでしょうか？

お礼

とても良く分かりました。
しかもこんなに早く回答がくるとは
思っていなくて自分なりに考えていたところです。
本当にどうもありがとうございます！
とても感謝します。