数式の証明がわかりません。

質問

下の数式の証明がわかりません。
それぞれの解き方を教えてください。
お願いします。

・V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2
・V(X+c)=V(X)
・V(cX)=c^2V(X)

ただし、

n
ΣXi / n = E(X)
i=1

n
Σ[Xi-E(X)]^2 / n = V(X)
i=1

cは定数とする。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

・V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2
＞V(X)=∑(i=1→n)[Xi-E(x)]^2/n
=∑(i=1→n)[Xi^2-2XiE(X)+E(X)^2]/n
=∑(i=1→n)[Xi^2]/n-2E(X)∑(i=1→n)[Xi]/n+E(X)^2∑(i=1→n)1/n
=E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2=E(X^2)-E(X)^2(証明終わり)
・V(X+c)=V(X)
＞まずE(X+c)=E(X)+cを証明すると
E(X+c)=∑(i=1→n)[(Xi+c)/n]=∑(i=1→n)[Xi/n]+c∑(i=1→n)[1/n]
=E(X)+c。よって
V(X+c)=∑(i=1→n)[Xi+c-E(X+c)]^2/n=∑(i=1→n)[Xi+c-E(X)-c]^2/n
=∑(i=1→n)[Xi-E(X)]^2/n=V(X)(証明終わり)
・V(cX)=c^2V(X)
＞まずE(cX)=cE(X)を証明すると
E(cX)=∑(i=1→n)[cXi]/n=c∑(i=1→n)[Xi]/n=cE(X)。
よって
V(cX)=∑(i=1→n)[cXi-E(cX)]^2/n=∑(i=1→n)[cXi-cE(X)]^2/n
=∑(i=1→n)c^2[Xi-E(X)]^2/n=c^2∑(i=1→n)[Xi-E(X)]^2/n
=c^2V(X)(証明終わり)

回答No.2

178-tall

>・V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2

　E(X) = Σ(Xi/n)　　　　…(1)
を使って、
　V(X) = Σ[Xi-E(X)]^2/n　　…(2)
を表示せよ、ということらしい。
　　　↓
(2) 右辺の被加算項は、
Xi^2/n - (2Xi/n)E(X) + {E(X)/n }*E(X)
これを n 個分加算して、
E(X^2) - 2{E(X) }^2 + {E(X) }^2
= E(X^2) - {E(X)}^2　　…(3)
という勘定。

>・V(X+c)=V(X)

(3) によれば、
V(X+c) = E{ (X+c)^2} - {E(X+c)}^2
右辺各項は、
E{ (X+c)^2} = Σ(Xi+c)^2/n
= Σ(Xi^2 + 2cXi + c^2)/n
= E(X^2) + 2c*E(X) + c^2
と、
{E(X+c)}^2 = {Σ(Xi+c)/n}^2
= {E(X) + c}^2 = {E(X) }^2 + 2c*E(X) + c^2
みたいだから、差し引き勘定して、
E{ (X+c)^2} - {E(X+c)}^2 = E(X^2) - {E(X)}^2
この結果が V(X+c) だが、(3) によれば V(X) と同値。

>・V(cX)=c^2V(X)

また (3) により、
V(cX) = E{ (cX)^2)} - {E(cX)}^2
= c^2*{E{X^2)} - c^2*E(X)^2
= (c^2)*V(X)

回答No.1

noname#227064

できるところまでやってみました。

・V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2
V(X) = Σ[Xi-E(X)]^2 / n
= Σ[Xi^2 - 2XiE(X) + {E(X)}^2] / n
= ΣXi^2 / n - 2ΣXi E(X) / n + Σ{E(X)}^2 / n
= ΣXi^2 / n - 2{E(X)}^2 + {E(X)}^2
= ΣXi^2 / n - {E(X)}^2
これ以上はわかりません。
E(X^2) = ΣXi^2 / n
にならなければいけないようですが、どうすればいいのでしょうか？

・V(X+c)=V(X)
X+cが何を意味するのか分からないのでどうにもなりません。

・V(cX)=c^2V(X)
これもcXが何を意味するのかがわかりません。