指数分布，連続型確率変数Ｘが，分布関数ｆ（ｘ）

質問

指数分布，連続型確率変数Ｘが，分布関数ｆ（ｘ）＝ｃe^-ｃｘ（ｘ≧０），０（ｘ＜０）（ｃは定数，ｃ＞０）を持つとき，ｘは指数分布に従うという。
(1)公理を説明せよ。
(2)E（ｘ），Ｖ（ｘ）を求めよ。
と言う問題です。
(1)は連続型なので∫_-∞＾∞ｆ（ｘ）＝１から∫_０^∞（ce＾-ｃｘ）ｄｘ＝ｃ∫_０^∞（e＾-ｃｘ）ｄｘ＝-〔ｅ＾-ｃｘ〕_０＾∞=１と言うのを授業でして復習しているのですが，ｃ∫_０^∞（e＾-ｃｘ）ｄｘ＝-〔ｅ＾-ｃｘ〕_０＾∞=１の部分がどうしてこうなるのかが分かりません。教えてください。

回答No.4

noname#185706 · ベストアンサー

＃１への「補足」に対して

>c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx = c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞

＃１と同じことを書くことになるのですが、
∫e^(-cx)dx = (-1/c)e^(-cx) + f 　（f は積分定数)
だからです。

(i) もしこの不定積分を質問しておられるのでしたら、a が定数のとき
　(d/dx)e^(ax)
= [{d/d(ax)}e^(ax)]・d(ax)/dx
= e^(ax)・a
= a e^(ax)
を思い出してください。a で割ると
e^(ax) = (d/dx){(1/a) e^(ax)}。
この式は (1/a) e^(ax) を x で微分すると e^(ax) になることを示しています。逆に言うと、e^(ax) を x で積分すれば (1/a) e^(ax) + 定数 になるということです。式で書くと
∫e^(ax) dx = (1/a) e^(ax) + 積分定数。
いまは a = -c の場合です。

(ii) 不定積分自体は問題ないのであれば、
　c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx
= c [(-1/c)e^(-cx) + f]_0^∞。
ここで、f の項は定数ですから、積分の上端と下端で同じ寄与をします。よって、引き算をすると消えてしまい、そのため、定積分ではふつう、積分定数は書かないで
= c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞
とします。

回答No.3

info22_

(1)
公理を補足にお書き下さい。
自身の言葉で説明された方がいいと思います。

(2)
>ｃ∫_０^∞（e＾-ｃｘ）ｄｘ＝-〔ｅ＾-ｃｘ〕_０＾∞=１の部分がどうしてこうなるのかが分かりません。
確率分布道度関数f(x)の性質
∫[-∞,∞] f(x)dx=1
この式に
f(x)=c e^(-cx) (x≧0), =0 (x<0)
を代入すれば
c∫[0,∞] e^(-cx) dx＝c { [(-1/c) e^(-cx)](x→∞)-[(-1/c) e^(-cx)](x=0)}
= c(1/c) e^0
= 1　
=　右辺
となりませんか？

じっと式の変形を見ていれば分かると思いますが？

E(x) = ∫[0,∞] x * c e^(-cx) dx = 1/c
V(x) = ∫[0,∞] (x^2) * c e^(-cx) dx = 2/(c^2)

この積分は部分積分すればできます。

回答No.2

noname#185706

＃１の

>∫e^(-cx) = (-1/c)e^(-cx) + d 　（d は積分定数)

を

∫e^(-cx) dx = (-1/c)e^(-cx) + d 　（d は積分定数)

に訂正します。

回答No.1

noname#185706

>ｃ∫_０^∞（e＾-ｃｘ）ｄｘ＝-〔ｅ＾-ｃｘ〕_０＾∞=１

∫e^(-cx) = (-1/c)e^(-cx) + d 　（d は積分定数)
ですから、
c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx
= c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞
= -[e^(-cx)]_0^∞
= - [0 - 1]
= 1。

補足

ありがとうございます。
c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx
= c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞
この部分の積分説明していただけませんか。
よろしくお願いします。