指数関数論 e^z=e^(z+2πi)の証明

質問

1. e^(z)=e^(z+w) ⇔ ∃n∈Z;∃π>0;w=2nπi
2. ∃π>0(e^(z)=e^(z+w) ⇔ ∃n∈Z;w=2nπi)
は同値だと思っていいのでしょうか？
もし、同値でないとしたら、どちらが真の命題でしょうか？
(できれば、三角関数を使わずに証明したいです)
また、どちらも真の命題とはいえないのでしょうか？
これは、2. のみを証明すべきだと思いますが
論理学の公理から1.と2.が同値でないことを示せないでしょうか？

このことを示すと基本周期が純虚数になることが分るので
π:=min({x>0|∀z∈C,e^(z)=e^(z+xi)})/2と
定義したいと思ってます

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

1.は偽です。
なぜなら、任意の純虚数wについて、∃n∈Z;∃π>0;w=2nπi が成立するからです。

お礼

ありがとうございます.
最初、わたしは、うっかり1.のように思ってしまいました．
ですが、やっぱり回答者様のご指摘のようなことが起こるから1.は偽だと思います
2.は多分、真だと思いますが、(自分の理解の中で)論理学の公理からきちんと説明できていません．
(1.と2.の違いがきちんと(＝論理学の公理に基づく)区別できていません)

ちなみに分ると思いますが、e^z=e^(z+2πi)を示すときに
πの値を示すことでなく基本周期があることを示すことが本意です．
なので1.とか2.のようなことを考えました．