因数分解

質問

以下の式を因数分解せよ
x(y-z)^5+y(z-x)^5+z(x-y)^5

対称式やら交代式やら使うみたいなのですが、
教科書を読んでも理解に苦しんでおります。

どうやれば解けるのでしょうか？
教えて下さい。
簡単に説明して頂けると大変助かります。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

先ずは、多項式の次数と対称式・交代式について、しっかりと理解することが大切なようですね。

＞１）の交代式は、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつことを覚えておけば良いのでしょうか？
そうです。ｘ、y、ｚの交代式は必ず、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつと覚えておきましょう。
ただし、交代式の場合だけです。対称式の場合には当てはまりません（因数に持つ場合も持たない場合もありますし、そもそも因数分解できない場合もあります）。

＞７）、８）で代入している数値はどこから求められてきたのでしょうか？
これらの数値は任意なので何を持ってきてもかまいません。ただ、計算を簡単にするために、どれかを０にすることはよく採られる方法で７）はその例です。８）のケースは、因数(x - y)(y - z)(z - x)の計算は（０以外で）１つ違いの値を入れたほうが楽になると思えるからです。

＞後、例えばこの式が
＞x(y-z)^4+y(z-x)^4+z(x-y)^4
＞のように4次であった場合の g(x,y,z) は、
＞g(x,y,z)=a(x + y + z)^2 + b(xy + yz + zx) + cxyz
＞となる？
ここには２つの誤りがあります。
一つは与式の次数が５であること、もう一つは与式は対称式であることです。
x、ｙ、ｚの対称式とは、x、y、ｚのうちのどの2つを入れ換えても式が不変である式のことです。
また、x、ｙ、ｚの交代式とは、x、y、ｚのうちのどの2つを入れ換えても式の符号（プラス・マイナス）が反転する式のことで、もっとも簡単なものは(x - y)(y - z)(z - x)です。
ですから、次の関係が成り立ちます。
（対称式）＝（対称式）×（対称式）、または、＝（交代式）×（交代式）
（交代式）＝（交代式）×（対称式）
対称式を「＋」、交代式を「－」とイメージすれば簡単に覚えられますよね。

この問題のケースでは、交代式ではないので因数の当てがありません。対称式で考えると５次なので、与式は
a(x + y + z)^5 + b(x + y + z)^3×(xy + yz + zx) + c(x + y + z)^2×xyz + d(x + y + z)(xy + yz + zx)^2 + e(xy + yz + zx)xyz
と置き換えることになります。
ちなみに、与式は次のようになりました。
= (x + y + z)(xy + yz + zx){(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)} - 9xyz(x + y + z)^2 + 27xyz(xy + yz + zx)
= {(x + y + z)(xy + yz + zx)-9xyz}{(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)}

＞また、3次の場合は、
＞g(x,y,z)=a(x + y + z) + b(xy + yz + zx) + cxyz
＞となる？
3次といわれるものは、4次のx(y-z)^3+y(z-x)^3+z(x-y)^3の誤りであるとしてお答えします。
この問題では、与式は交代式ですので、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもちます。それ以外の因数を質問者のようにg(x,y,z)と置けば、g(x,y,z)は、
g(x,y,z) = a(x + y + z)
になります。
ｘ、ｙ、ｚの次数というのは、x、ｙ、ｚを任意の組み合わせでいくつ掛けているかを示すものです。ですから、x + y + zは1次ですし、xy + yz + zxは2次、xyzは3次です。
この問題では、g(x,y,z)は1次なので、1次のものしかもち得なえません。

＞6次の場合は、
＞g(x,y,z)=a(x + y + z)^4 + b(x + y + z)^2(xy + yz + zx) + cxyz
＞となる？
この問題の場合も、7次で与式がx(y-z)^6+y(z-x)^6+z(x-y)^6の誤りであるとしますと、この場合も上記の5次（質問者が4次と書いているもの）と同様に、対称式です。対称式の考えで解こうとすると与式を次のように置き換えることになります（この方法で因数分解できるのだろうか？）。
a(x + y + z)^7 + b(x + y + z)^5×(xy + yz + zx) + c(x + y + z)^4×xyz + d(x + y + z)^3×(xy + yz + zx)^2 + e(x + y + z)^2×(xy + yz + zx)×xyz + f(x + y + z)(xy + yz + zx)^3 + g(x + y + z)×(xyz)^2 + h(xy + yz + zx)^2×xyz
ちなみに、私は挫折しました。分かる人がいたら教えて欲しいものです。

以上のことを眺めますと、対称式や交代式の考え方で解けて計算がさほど複雑にならない、当初の６次の式が問題として相応しいことが分かりますか？　出題者の意図はそこにあると思われます。

回答No.4

lick6

ある整式Pに対して文字を入れ替えたとき(x→y,y→x)としたとき
　Pとなるものを対称式
-Pとなるものを交代式
というのが定義だったはずです。
対称式の性質は基本対称式で必ず表せるというものです。
基本対称式というのは x + y , xy や x + y + z , xy + yz + zx , xyz
といったものです。
　例）x^2 + 3xy + y^2 = (x + y)^2 + xy
交代式の性質は(x - y)や(y - z)といったものを因数に持つということです。
これは因数定理を使って説明できます。
例えば問題を f(x,y,z) = x(y - z)^5 + y(z - x)^5 + z(x - y)^5
とすると f(x,x,z) = 0 (x = y としたとき)であるから(x - y)を因数に持つ
同様に　 f(x,y,y) = 0 より (y - z) を因数に持つ
　　　 　 f(z,y,z) = 0 より (z - x) を因数に持つ
逆に三文字のとき「xとyについては交代式」ということもあります。
そのときは当然(x - y)しか因数に持ちません

回答No.2

Mr_Holland

回答が書かれているサイトがありましたので、こちらを参照してください。
答えは次のようになっていました。

= (x - y)(y - z)(z - x)((x + y + z)^3 - 2(x + y + z)(xy + yz + zx) - 9xyz)
= (x - y)(y - z)(z - x)(x^3 + y^3 + z^3 + yx^2 + zx^2 + xy^2 + xz^2 + zy^2 + yz^2 - 9xyz)

解法の要点をまとめると次の通りです。
１）交代式であることから、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつ。
２）与式の(x - y)(y - z)(z - x)以外の因数は対称式である。
３）x, y, zの対称式は(x + y + z)、(xy + yz + zx)、xyzだけで表すことができる。
４）与式の次数は６なので、与式の(x - y)(y - z)(z - x)以外の因数の次数は３である。
５）３）と４）から、与式の(x - y)(y - z)(z - x)以外の因数をa(x + y + z)^3 + b(x + y + z)(xy + yz + zx) + cxyz と置く。
６）与式と因数分解した式は恒等式なので、任意のx、y、zで成り立たなければならない。
７）そこで、x = 0としてみる。⇒　aとbが求められる。
８）次に、x = 1、y = 2、z = 3を入れてみる。　⇒　cが求められる。

参考URL：

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/column/col05.htm

補足

回答ありがとうございます。
要点の部分で質問させて下さい。
１）の交代式は、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつことを覚えておけば良いのでしょうか？
７）、８）で代入している数値はどこから求められてきたのでしょうか？

後、例えばこの式が
x(y-z)^4+y(z-x)^4+z(x-y)^4
のように4次であった場合の g(x,y,z) は、
g(x,y,z)=a(x + y + z)^2 + b(xy + yz + zx) + cxyz
となる？
また、3次の場合は、
g(x,y,z)=a(x + y + z) + b(xy + yz + zx) + cxyz
となる？
6次の場合は、
g(x,y,z)=a(x + y + z)^4 + b(x + y + z)^2(xy + yz + zx) + cxyz
となる？

このようになるんだなと覚えれば分かるのですが、そのようになる理由分からない為、次数が変わってきた場合、どのように対応すれば良いか知りたかったので聞いてみました。

教えてもらっているのに追加して聞いてすいません。
教えて下さい。

回答No.1

Ce_faci

こんばんわ
まず、この手の高次元の因数分解は、項べきの順に並べ替えるのが鉄則と思います。それを踏まえて。

対象式とは、
（a＋b）の１乗、２乗、３乗、４乗…としたときの係数を並べてみましょう。
１乗　　　　　　　　　１　１
２乗　　　　　　　　１　２　１
３乗　　　　　　　１　３　３　１
４乗　　　　　　１　４　６　４　１
つまり
５乗　　　　　１　５　10　10　５　１
となります。なんと上の段の２数を足すと係数になるのです（１＋３＝４）。ただし、マイナスが付いている場合は、(-△）のナントカ乗ですので、符号に気をつけてください。
これで　x(y-z)^5　の展開は楽になりますね。
次に交代式ですが、私の中ではサイクリック（回転）と呼んでおります。ｘ→ｙ→ｚ→ｘを繰り返すのです。
すなわち、２項目の　y(z-x)^5　は、１項目の　x(y-z)^5　のｘをｙに置き換え、ｙをｚに置き換え、ｚをｘに置き換えている見かたが出来ますね。ならば、展開は　x(y-z)^5　の展開を真似しながらｘｙｚを置き換えていけば楽ですね。３項目は２項目を置き換えたと察しが付きますね。これで展開は出来るはずです。
あとはｘ５乗、４乗、３乗、と項べきの順にすれば、驚き！！１項目のx(y-z)^5　は展開したのに元に戻るかもですね。暗算で２項目と３項目のｘ１乗の項は消えると分かりますか？ならば、はじめからｘ１乗の項は１項目にしか存在しない、となります。途中からｙ－ｚ＝Aと置き換えにも気づきますか？

補足

回答ありがとうございます。
展開のところのサイクリックの部分が良くわからないのですが・・・。
１項目の x(y-z)^5 をｘをｙに置き換え、ｙをｚに置き換え、ｚをｘに置き換えると、　y(z-x)^5 ということですか？
１項目、２項目、３項目すべて置き換えると結局同じ式に戻りますよね？
う～～ん頭が・・・。
教えてもらっていて申し訳ないのですが、交代式の簡単な例を示してもらえると嬉しいです。