因数分解の解き方

質問

次の因数分解の解き方がどうしても分かりません。
よかったら解き方を教えてください。
お願いします

[1] (x＋y)(y＋z)(z＋x)＋xyz

[2] (x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋6)＋8

回答No.2

info22_

[1]
３次の対称式なので、因数分解できるとしたら
３変数の基本対象式(x+y+z),(xy+yz+zx),xyz
の積で、元の式が３次であることから
３次の組合せとして
(x+y+z)(xy+yz+zx)
(x+y+z)^3
を因数にもつ因数分解が考えられる。
与式にx^3の項がないことから後者ではない。
従って
(x＋y)(y＋z)(z＋x)＋xyz=k(x+y+z)(xy+yz+zx)
の形に因数分解できる。x^2*yの係数を比較してk=1であることが分かる。
従って、因数分解結果は「(x+y+z)(xy+yz+zx)」となる。

[2]
式の形をよく観察すると
因数定理が使えることが分かる。
(x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋6)＝-8
となるxをさがすと
(-1)(1)(2)(4)=-8となるxは x=-2
(-4)(-2)(-1)(1)=-8となるxはx=-5
従って、因数定理から与式は
　(x+2)(x+5)
で割り切れる。
与式をばらしら４次式を
(x+2)(x+5)=x^2+7x+10
で割ると商が
　x^2+7x+8
で余り0。
よって与式=(x+2)(x+5)(x^2+7x+8)
と因数分解できる。なお、x^2+7x+8は有理係数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

回答No.1

konchan88

携帯からなので誤植あったらごめんなさい。
[1]
(x＋y)(y＋z)(z＋x)＋xyz
＝２ｘｙｚ＋ｘ^２(ｙ＋ｚ)＋ｙ^２(ｚ＋ｘ)＋ｚ^２(ｘ＋ｙ)＋ｘｙｚ
＝{ｘｙｚ＋ｘ^２(ｙ＋ｚ)}＋{ｘｙｚ＋ｙ^２(ｚ＋ｘ)}＋{ｘｙｚ＋ｚ^２(ｘ＋ｙ)}
＝ｘ(ｙｚ＋ｘｙ＋ｚｘ)＋ｙ(ｘｚ＋ｙｚ＋ｘｙ)＋ｚ(ｘｙ＋ｚｘ＋ｚｙ)
＝(ｘ＋ｙ＋ｚ)(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)

[2]
(x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋6)＋8
＝(x＋1)(x＋6)(x＋3)(x＋4)＋8
(ｘ^２＋７ｘ＋６)(ｘ^２＋７ｘ＋１２)＋８
＝(ｘ^２＋７ｘ)^２＋１８(ｘ^２＋７ｘ)＋８０
＝{(ｘ^２＋７ｘ)＋８}{(ｘ^２＋７ｘ)＋１０}
(ｘ^２＋７ｘ＋８)(ｘ^２＋７ｘ＋１０)

両方とも基本問題です。パターンとして覚えてしまいましょう。