必要十分条件

質問

数学の授業でこの問題を解くことになりました。
なんとなくは、わかるのですが曖昧です。

例えながらわかりやすく
みんなに説明しなければなりません。

わかりやすい答えを教えてください。
よろしくおねがいします！

回答No.1

shuu_01 · ベストアンサー

まだ回答がないのは、「小さくて読めない」のと「自分で解けよ」というのが、合わさってのだと思います

例えながら、わかりやすくというのは、sxxxxr さんを含め、他の生徒がどのレベルかわからないので、どこまでかみ砕いて説明しないといけないのか、わからないです

（１）「x ＝　±2 であることは x = 2 であるための」必要条件である

（２）y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c が x軸と接することは、
　　　y ＝ ax^2 + bx + x のグラフが x軸より上にあるか、接するか、2点で交わることの
　　　十分条件である

（３）a ＋ b ≧ 2√（a b）ということは、a も b も正で、（a ＋ b）^2　≧ 4（a b）
　　　（a － b）^2 ≧ 0 ということなので、
　　　a ＝ b であるための、必要条件

（４） a b ＞ a ＋ b は a b － a － b ＋ 1 ＞ 1、（a － 1）（b － 1）＞ 1
　　　 a も b も 2 より大きいか １ より小さくても成り立つ場合があるので、
　　　（例えば a も b も －1 の時など）
　　　a ＞ 2、b ＞ 2 の 必要条件

（５） A ∪ B ＝ A は A ∩ B ＝ B と同じことなので、
　　　必要十分条件です

お礼

ほんとにありがとうございます。
shuu_01さんのように親切に教えてくれる人がいて助かりました。

ざっくりしすぎた質問ですいません。
ありがとうございました！

回答No.5

178-tall

必要 / 十分条件とは？
ある式が成立つなどという文 (「命題」という) P から他の命題 Q が導けるとき、つまり P → Q が成立するとき、
　Q は P の必要条件 (P が成立つには Q の成立が「必要」)
　P は Q の十分条件 (P が成立ちさえすれば Q の成立に「十分」)
というのだそうです。
注意すべきは、P が Q の必要条件であるとは、Q → P が成立することだということ。

おまけに、命題 P, Q をチャンと判読してから判別せねばならず、右往左往させられそうです。

(1) の例題でも…。
命題 P, Q の判読。
　P = {|x|=2 → x=2 あるいは x=-2 のいずれか}
　Q = {x^2 -4x + 4 = 0 → x=2 (のみ)}
問いは、P は Q の「？」条件か…ということ。

「必要 / 十分条件」の定義へ戻ってみると？

P → Q が成立つということは、x=2 と x=-2 のどちらでも x^2 -4x + 4 = 0 が成立つ、ということ。
これは「偽 (不成立)」なので、P は Q の十分条件じゃない、ということになります。

ならば、P は Q の必要条件？
これの判断には、Q → P が成立つか、を調べなきゃならないのでした。
x=2 なら |x|=2 は「真」ですから OK 、つまり P は Q の必要条件になってます。

ということは、「 (2) (P は Q の) 必要条件であるが、十分条件ではない」ということ？

いちいちこの調子じゃ日が暮れそう。
試しに、ほかのどれかやって、ここへ書き出してみて…。

お礼

詳しく教えてくださり、ありがとうございます。
とても、わかりやすかったです。

ほんとにありがとうございました！

回答No.4

shuu_01

（４） a b ＞ a ＋ b は a b － a － b ＋ 1 ＞ 1、（a － 1）（b － 1）＞ 1
　　　 a も b も 2 より大きいか １ より小さくても成り立つ場合があるので、
　　　（例えば a も b も －1 の時など）
　　　a ＞ 2、b ＞ 2 は a b ＞ a ＋ b の十分条件

議論はそれで良いと思うのですが、
ab ＞ a＋ b であっても、a ＞2、b＞２ が成り立たない例として
a ＝ －１，b ＝ －1 の他に a ＝ 3/2、b ＝ 4 も上げた方が良いかも

回答No.3

shuu_01

No.2 さん、訂正ありがとうございます

＞（４） a b ＞ a ＋ b は a b － a － b ＋ 1 ＞ 1、（a － 1）（b － 1）＞ 1
＞　　　 a も b も 2 より大きいか １ より小さくても成り立つ場合があるので、
＞　　　（例えば a も b も －1 の時など）
＞　　　a ＞ 2、b ＞ 2 の 必要条件

は正しいのですが、問題文を見直すと

「a ＞ 2、b ＞ 2　は」　a b ＞ a ＋ b の 「十分条件」 でした

「主語」を取り違え、逆になってました

回答No.2

yyssaa

(4)a＞2,b＞2であることは、ab＞a+bであるための十分条件。
例えばa=3,b=2でもab＞a+bは成り立つ。