必要・十分条件

質問

数学Aからの質問です。

必要・十分条件について、分かりやすく教えて下さい。

回答No.1

Tofu-Yo

「AならばB」が成り立つとき、AをBの十分条件、BをAの必要条件といいますが、数学をかじった人でもたまに言い間違ったりこんがらがったりします。

意味としては、「AならばB」なのだから、「Bが成り立つためにはAという条件があれば十分」ということになります。だから、AはBの十分条件と表現するのです。これは比較的わかりやすいと思います。

必要条件がちょっとわかりにくいかもしれません。「AならばB」だと「Aが成り立つためにはBという条件が最低必要」なのです。なぜなら、Bという条件がなければAは成り立ち得ないからです。まさしく「AならばB」の対偶「BじゃなければAじゃない」ということです。だからBはAの必要条件と表現します。

わかりくい場合は具体例で確認しましょう。条件「ｘ＞３」と条件「ｘ＞５」の関係を必要・十分で表してみます。まず、「ｘ＞３ならばｘ＞５」とは限りません。ｘ＝４は条件「ｘ＞３」を満たす一方、条件「ｘ＞５」を満たさないからです。逆に、「ｘ＞５ならばｘ＞３」は成り立ちます。５＞３なのですから、ｘ＞５＞３よりｘ＞３が成り立つからです。

このとき、「ｘ＞５」であることは「ｘ＞３」であるために十分な条件です。一方、「ｘ＞３」であることは「ｘ＞５」であるためには最低満たさなければならない条件です。「ｘ＞３」だからと言って「ｘ＞５」とは限らないですが、最低「ｘ＞３」を満たさないと「ｘ＞５」など満たしようがないからです。

なので、
「ｘ＞３」は「ｘ＞５」の必要条件であるが、十分条件ではない。
「ｘ＞５」は「ｘ＞３」の十分条件であるが、必要条件ではない。
となります。

実用的には「矢には先が必要」と覚えてしまいましょう。つまり、「AならばB」を「A⇒B」と表しますが、この矢「⇒」の矢先側が必要条件、反対が十分条件ということです。