必要・十分条件について

質問

三角形ABCの三辺のながさをa,b,c,とする
(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0であることは三角形ABCが直角三角形であるための□である。

左から右：
a=bのときもあるから×

右から左：
角Cがπ/2のとき成り立つ

と思ったので、十分条件が答えかと思ったら違いました。

どこが違うのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.5

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんにちは。
いくつか回答が出ていますが、左から右、右から左を順番に考えてみればいいと思います。

＞三角形ABCの三辺のながさをa,b,c,とする
(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0であることは三角形ABCが直角三角形であるための□である。

1)まず、左から右、を考えてみます。

(a^2-b-2)(a^2+b^2-c-2)=0
のときは、
a^2-b-2=0　または、a^2+b-2-c-2=0
ですね。
a^2+b-2-c-2=0のときは、辺cを斜辺とする直角三角形になりますが
a^2-b-2=0のときは、辺a=b(a>0,b>0より）となるので
ただの二等辺三角形です。
直角三角形には、必ずしもなりません。
よって左から右は、×

2)右から左

ABCが直角三角形であれば、必ず
(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0
が成り立つのか？を調べればいいです。
ここで、だまされそうになりますが、たとえば斜辺がaのときで
a≠bとすると
a^2-b^2≠0ですし
ピタゴラスの定理では
a^2=b^2+c^2
となってしまいますので、
a^2+b^2-c-2=(a^2-b^2-c-2)+2b^2=2b-2>0
となるので、成り立たないですね。
よって右から左も　×

ひっかけ問題ですね。

お礼

こんばんは。
ご回答ありがとうございます。

右から左、も成りたたないんですね～。
この問題は上智らしいんですけど、引っかかってしまいました。
次は間違えないように気をつけます。

詳しい説明、どうもありがとうございました。

回答No.4

humihiro2003

Ｎｏ．１でのお礼を見てからの書き込みです。

右から左：
角Ａまたは角Ｂが直角の時・・・
っていう反例があるからですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞角Ａまたは角Ｂが直角の時・・・
っていう反例があるからですね。

なんですね。
今度は間違えないようにしたいと思います。
参考にさせていただきます。

回答No.3

waseda2003

△ABCが直角三角形だとしても，∠Cが直角だとは限らないので，両方向とも不成立ですね。

必要と十分が逆になっているようなので，念のために述べておくと，

p⇒qが真の命題のとき
pは（qであるための）十分条件
qは（pであるための）必要条件

です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞△ABCが直角三角形だとしても，∠Cが直角だとは限らないので，両方向とも不成立ですね。

なんですね・・・納得しました。
必要と十分はしっかりしときたいとおもいます。
参考にさせていただきます。

回答No.2

humihiro2003

十分条件と必要条件を間違って覚えていませんか？

【○○であることは××であることの△△条件である。】
とゆう文の場合、
左から右が成立するのが「十分条件」ですよ。

覚え方は、文は左から読み（出発し）ます。
そして、いつ出発するかというと、
十分（１０分）に出発するからです。

こうすると覚えやすいでしょ？

回答No.1

ranx

考え方は合っていると思います。
単純な勘違いでは？

三角形ABCが直角三角形ならば、(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0 が成り立つ。
（この式が成り立つことが「必要」である。）
(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0 であるからといって、三角形ABCが直角三角形とは限らない。
（この式が成り立つことでは「十分」とは言えない。）

というわけで、「必要条件」です。

お礼

ご回答ありがとうございます。すみません・・・。
質問文の　十分→必要
ですね～～。

でも答えは必要でも十分条件でもない、なんです！
う～ん・・・。

補足

解決しました～。
ありがとうございました。