質点A、B(それぞれ質量ｍ)が長さLの糸で結ばれ、質点Aは水平面上を運

質問

質点A、B(それぞれ質量ｍ)が長さLの糸で結ばれ、質点Aは水平面上を運動し、質点Bは水平面の原点Oにあけられた穴を通して垂れ下がり、3次元的に運動する。重力加速度をgとし、ラグランジュ関数を求めよ。

という問題なのですが、ラグランジュ関数は求めて、運動方程式は立てたのですが、その後の小問がわかりません。

(1)質点Aが原点を中心とした半径rの定常な円運動をする解を求めよ。
(2)　(1)の状態から少しずれた場合には微小振動が起きる。その角振動数を求めよ。

どなたかよろしくお願いします。（ヒントだけでもお願いします。）

回答No.2

yokkun831

もともとの系の自由度は４つ。
Ａの座標：r，φ1（平面極座標）
Ｂの座標：L-r，θ，φ2（3次元極座標）
とします。また，「'」で時間微分を表します。

以下，概略のみ。
r' = 0，r'' = 0　を考慮して，
運動方程式のφ1成分より，φ1' = 一定 = ω　とかけます。
これで，Ａの運動は等速円運動に定まります。

運動方程式のr成分とエネルギー保存を連立させると，
θ(r,ω) = 一定　を得ます。θは，r，ω，エネルギーEにより一意に定まります。
したがって，θ' = 0，θ'' = 0。

以上を考慮すると，運動方程式のθ成分により，
φ2' = 一定 = Ω(r,θ)　とおくことができます。

これでＢの運動が円錐振り子であることがわかりました。
以上でひとまず，(1)は解決すると思います。

(2)は，運動方程式のr方向成分にもどって復元力をみつけるか，またはエネルギー保存を単振動の形式にもっていくかどちらかの方法をとることになるでしょうね。

回答No.1

yokkun831

dr/dt = 0 および，d^2r/dt^2 = 0　の条件で運動方程式を解くのですが，特に垂れ下がった質点の自由度が大きいために，そのまま素直に計算すると，かなり難解なものになりそうです。条件は，本当にそれだけですか？　たとえば鉛直方向からの変位が微小であるとか，近似に使えるような条件は与えられていないのでしょうか？

補足

微小という条件はありません。その条件があればsinとcosを簡単にできて良いのですが。
保存則を使って簡単にできませんか？