難しい積分問題です。

質問

∫[0→1] {b^2/a+dcos(2πx)} dx (a>b>0)
この問題が解けません。
解ける方、よろしくお願いします。

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo.2に計算ミスがありましたので訂正します。

>I=(b^2/(πd))[(k/|k|)tan^-1((|k|+1)sin(t)/((√(k^2-1))(1+cos(t))))/√(k^2-1)][0→π]
>=(b^2/(πd))(k/|k|)lim[t→π-0]tan^-1((|k|+1)sin(t)/((√(k^2-1))(1+cos(t))))//√(k^2-1)
=(b^2/(πd))(k/|k|)lim[t→π-0]tan^-1((|k|+1)sin(t)/((√(k^2-1))(1+cos(t))))/√(k^2-1)
=((b^2/(πd))(k/|k|)/√(k^2-1))lim[t→π-0]tan^-1((|k|+1)cos(t)/((√(k^2-1))(-sin(t))))
>=(b^2/(πd))(k/|k|)2π/√(k^2-1)
=((b^2/(πd))(k/|k|)/√(k^2-1))π
>=(2b^2/|d|)|d|/√(a^2-d^2)
=(b^2/|d|)|d|/√(a^2-d^2)
>=2b^2/b
=b^2/b
>=2b
=b　←　(答え)

回答No.2

info22_

>(a>b>0)
>分子がb^2、分母がa+dcos(2πx)です。d^2=a^2-b^2(>0,a≠d)
これによると dは正の場合と負の場合が出ます。
どちらでしょうか？

とりあえず 2πx=tとおくと
I=∫[0→1] {b^2/(a+dcos(2πx))} dx
=∫[0→2π] {b^2/(a+dcos(t))} dt/(2π)
=(b^2/(2πd))∫[0→2π] 1/(k+cos(t)) dt, (k=a/dとおく。k≠1)
1/(k+cos(t))は周期2πの偶関数なので
=(b^2/(πd))∫[0→π] 1/(k+cos(t)) dt

この積分は|k|=a/|d|<1のとき被積分関数がcos(t)=-kで未定義となるので積分が収束しない。

|k|=a/|d|>1のときは積分が収束する。
I=(b^2/(πd))[(k/|k|)tan^-1((|k|+1)sin(t)/((√(k^2-1))(1+cos(t))))/√(k^2-1)][0→π]
=(b^2/(πd))(k/|k|)lim[t→π-0]tan^-1((|k|+1)sin(t)/((√(k^2-1))(1+cos(t))))//√(k^2-1)
=(b^2/(πd))(k/|k|)2π/√(k^2-1)
=(2b^2/|d|)|d|/√(a^2-d^2)
=2b^2/b
=2b

回答No.1

spring135

被積分関数の分子、分母を明らかにしてください。

補足

分子がb^2、分母がa+dcos(2πx)です。
d^2=a^2-b^2という条件がありました。