重積分

質問

体積を求めよ。（a,b,c>0)
1.ｘ/a+y/b+z/c<=1 x>=0 y>=0 z>=0

曲面積を求めよ。（0<b<a)
1.球面x~2+y~2+z~2=a~2のz>=bの部分
2.曲面z=1-x~2-y~2のz>=0の部分

全然わからないのでよろしくお願いします

回答No.2

grothendieck

下の回答でyについて積分した所は、

　∫(0～1)dx∫(0～1-x)dy(1 -(x+y))
　= ∫(0～1)dx (1/2)(1-x)^2

に訂正させて頂きます。

回答No.1

grothendieck

１.
重積分はフビニの定理によって逐次積分にできます。簡単のため、x方向に1/a、y方向に1/b、z方向に1/cに縮小した図形を考え、
　ｘ + y + z <=1, x>=0, y>=0, z>=0
の体積を求めることにします。簡単な形の体積ですので、積分しなくてもできると思いますが、z,y,xの順に積分することにすると

　∫(0～1)dx∫(0～1-x)dy∫(0～1 -(x+y))dz
　= ∫(0～1)dx∫(0～1-x)dy(1 -(x+y))
　= ∫(0～1)dx (1/2)(1-(x+y))^2
　= 1/3!
よって元の図形の体積は abc/6
２.
～2は2乗でしょうか。そうだとすると極めて標準的な問題ですので教科書を見て頂きたいと思います。