フィードバック制御の安定性について

質問

すいません。タイトルの内容について大変困っております。

添付画像（図の破線の特性）にあるようにゲインが１以上の範囲にて位相が-180°を回っている範囲がありますが、

この系は安定するそうです（開ループの特性です）。

確かにクロス周波数では零点の追加の効果により-90°の遅れまで特性が改善され、

安定するのはわかるのですが、上記にあるようにクロス周波数以前では-180°を回る範囲が

ある以上、これは安定な系とはならない気がしてなりません。

この質問と同じような内容の質問を見かけましたが、しっくりくる回答の記述は

ありませんでした。

以上、大変申し訳ないのですが、何卒ご教授いただきたく。

回答No.4

xpopo · ベストアンサー

今晩は。回答NO.3への補足について下記のようにコメントします。

＞５番目の波形は増幅器２の出力とのことですが、これは１番目の入力波形と同位相（時間軸は一緒だと思いますので）であるので、４番目の増幅器２の＋端子、－端子間の電圧波形は（同位相）ー（同位相）＝同位相波形となると思うのですが、結果は逆位相となっております。

コメント＞＞
　「４番目の増幅器２の＋端子、－端子間の電圧波形は（同位相）ー（同位相）＝同位相波形となる」：そのとおりですが、結果が　逆位相　になってる理由は出力V(out_b)の振幅（1.03V(0-p)）の方が入力V(in)の振幅（1.0V(0-p))より大きい為です。入力と出力はお互いに同相ですので小さいほうから大きいほうを引き算すれば結果はマイナスになるので位相は逆位相になります。

＞上記の考え方とすると同位相の電圧差が－３１倍されて出力は逆位相となり、それが入力に戻り、正位相と逆位相の差となり大きな電圧差となり、それが又ー３１倍される・・・というようなループになり発散すると思ってしまいます。（ただ結果はそうはならない）

コメント＞＞上記、最初のコメントに述べたようにそのようにはなりませんね。

お礼

あーー大変お見苦しいところをお見せしてしまいました。

小学生でもわかる足し算引き算を間違えるとはお恥ずかしい限りです。

こんなくだらない質問をしてしまい大変申し訳ありません。

しかし、xpopo様のおかげで最初に比べ、だいぶ理解を深めることができました。

子の回答を持ちまして、誠に勝手ながらベストアンサーとして選出させて頂きます。

本当にありがとうございました。

又、機会がありましたらお知恵えお借りいただければ幸いです。

以上、よろしくお願いいたしいます。

回答No.3

xpopo

今晩は。回答NO.2です。補足ありがとうございます。

以下にその補足にありました質問とコメントを書きます。

＞確かに閉ループの式上ではゲインが０ｄＢに収束することは理解できるのですが、やはり開ループにおいて-180度を回った時にゲインが１以上であると単純にそのままループを閉じると、同相の信号が数十倍されて入力に帰ってくるので、どうしても発散してしまうイメージが沸いてしまいます。
＞直感的にも理解できるとよいのですが、いかんせんイメージが沸かず苦戦しております。なにか、ヒント等あればお教えいただきたく。

コメント＞＞
　これは、式で表されたとおりの結果ですので、ちょっと説明が難しいですね。
言葉だけで説明が難しいので電気回路の例で説明してみようと思います。その回路図とその動作をシミュレーションした結果をこちら（http://yahoo.jp/box/QUsotf）にアップしましたのでそれを参照願います。

　まず回路ですが電圧入力で電圧出力の増幅器にE1とE2を使います。それぞれの＋入力には信号源V1（sin波、f=1kHz、振幅＝１V(0-p)）を接続します。
　また、増幅器E1の出力OUT_AからE1の反転入力の－端子に帰還をかけます。同様に増幅器E2の出力OUT_BからE2の反転入力の－端子に帰還をかけます。
　そして増幅器E1のゲインは+31に設定します。一方、増幅器E2のゲインは位相を180度反転させるために－31に設定します。もうお気づきかと思いますが、上側の増幅器E1のゲイン31はオープンループのゲインで位相が遅れていない場合で下側の増幅器E2は位相が180度遅れた場合に相当します。
　ポイントはこの下側の場合にご心配の様な発散してしまうような状況が起きるかどうかです。
　結果ですがまずシミュレーション結果の一番上の波形が信号源V1の波形です。2番目は増幅器E1の入力の＋端子と－端子間の電圧です。3番目は増幅器E1の出力です。4番目は増幅器E2の入力の＋端子と－端子間の電圧です。5番目が増幅器E2の出力です。
　結果から、5番目の波形ですが発散するんではないかと心配されていたようにはならずに振幅が約1.03V(0-p)に収まってます。尚、この例ではシミュレーションで示しましたが、手計算しても同じ結果になると思います。

こんな説明でお分かりになったでしょうか。

補足

度々の質問にて申し訳ありません。

ご教授いただいた波形ファイルを拝見させて頂いたのですが、

一点確認したいことがあるのですがよろしいでしょうか？

５番目の波形は増幅器２の出力とのことですが、これは１番目の

入力波形と同位相（時間軸は一緒だと思いますので）であるので、

４番目の増幅器２の＋端子、－端子間の電圧波形は（同位相）ー（同位相）＝同位相波形となると

思うのですが、結果は逆位相となっております。

上記の考え方とすると同位相の電圧差が－３１倍されて出力は逆位相となり、

それが入力に戻り、正位相と逆位相の差となり大きな電圧差となり、それが又ー３１倍される・・・

というようなループになり発散すると思ってしまいます。（ただ結果はそうはならない）

上記の考え方において私は大きな勘違いをしているだけでしょうか？

同じ内容のご質問となってしまい、大変失礼と思いますが、

もう一度ご教授願えないでしょうか？

以上、よろしくお願いも憂いあげます。

回答No.2

xpopo

今晩は。回答NO.1です。前回の回答に対して補足をいただきましたので以下にコメントを書きました。

＞私の理解としては開ループにて安定判別するのは閉ループの伝達関数の計算は開ループに比べ複雑になるためと思っております。

コメント＞＞そのとおりです。

＞そのため、開ループにてゲインが１以上で１８０度を回る範囲があれば、閉ループゲインを計算すればよいとのことですが、それでははじめから、閉ループにて評価したほうが、２度手間にならないと思ってしまいます（勉強不足にて間違っておりましたら申し訳ありません）。

コメント＞＞そういう意味で閉ループの値を求めることを示したのではありません。オープンループの位相が－１８０度の場合にはオープンループゲインは１に対してどのくらい離れているかはいわゆる　ゲイン余裕　という安定判別のもうひとつの指標がありますが、それも考慮する必要があるでしょうということを説明したつもりでした。

　最初の質問にあるゲインが１になる以前にゲインが１以上で位相が－１８０度に回った部分についてはこのゲイン余裕はどのくらいになるかということです。ゲイン余裕で言えばその位相が-１８０度に回っているところでのゲインが小さく、たとえば６ｄBくらいしかなかったら閉ループのゲインはどのくらいになりますか？あるいは３ｄBだったら？あるいは30ｄBだったら？閉ループゲインはどうなるでしょうか？正確にはこれらに対して閉ループを計算しなければ閉ループではどのくらいのゲインになるかわかりません。これらに対しての計算の結果ではゲイン余裕が６ｄBの場合は閉ループゲインは＋６ｄBも上昇してしまいます。３ｄBならば閉ループゲインは＋９ｄBにもなってしまいます。更にオープンゲインが小さくなってゆけば閉ループゲインはもっと大きな値になって行きます。ところが、３０ｄBもあれば前回の回答の中での計算のとおり＋0.279ｄBに収まります。オープンループの位相が－１８０度になるときのオープンループゲインの値は閉ループのゲインに大きく影響します。ですから、このゲイン余裕は位相余裕と同じくらい閉ループの安定性に影響を与えます。安定判別に何が何でも閉ループを計算しなければいけないということはありません。最低限安定判別には０クロスでの　位相余裕　と位相がー１８０度　での　ゲイン余裕　の２つを計算する必要がありますよということです。

＞又、ご教授いただいた具体例では１次の伝達関数でしたが、これは高次の場合でも、成り立つことなのでしょうか？

コメント＞＞御説明した具体例は　1次　の伝達関数ではありません。どんな次数の伝達関数でも当てはまる汎用的な表現になってますよ。何か勘違いされてるように思いますがどうして　1次　の伝達関数だと思われたのでしょうか？

補足

ご回答いただき誠にありがとうございます。

最初の具体例と今回のご回答にて完全ではありませんが、

理解を深めることができました。ただ、確かに閉ループの式上では

ゲインが０ｄＢに収束することは理解できるのですが、

やはり開ループにおいて-180度を回った時にゲインが１以上であると

単純にそのままループを閉じると、同相の信号が数十倍されて入力に帰ってくるので、

どうしても発散してしまうイメージが沸いてしまいます。

直感的にも理解できるとよいのですが、いかんせんイメージが沸かず苦戦しております。

なにか、ヒント等あればお教えいただきたく。

又、補足の次数に関しても項目は大変申し訳ありません。

私の勘違いでした。伝達関数を極座標表現にしてあるだけですので、

確かにどんな次数でも対応できる一般形ですね。

以上、大変稚拙な内容にてご迷惑をおかけいたしますが、よろしければご教授いただきたく。

回答No.1

xpopo

今晩は。

　まず、オープンループについて位相余裕やゲイン余裕を調べるのはクローズドループの安定性を吟味するために行うのは理解されてると思います。

　ゲインが０ｄBをクロスする周波数での位相がー180度に対してどれだけ離れてるかによって、クローズドループの安定性は決まってきます。

　ゲインが１以上の範囲で位相が－180度近く回ってる場合、クローズドループが安定かどうかは計算してみればよいのです、クローズドループのゲインを！！計算してみた事が多分無いのでしょうね。

　添付の図１のようなシステムを考えます。図でGopen（jω）がオープンループゲインを示します。閉ループ（クローズドループ）の入力をR(jω)、出力をCo(jω)とします。この場合の閉ループの伝達関数Tc（jω)は

　　　　Tc(jω)=Co(jω)／R(jω)=Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω))　　（１）

で求められます。この閉ループのゲインが「ゲインが１以上の範囲で位相が－180度近く回ってる場合、」にどのくらいの値になるか？って言うことです。このゲインが０ｄBではなく10ｄBとか大きな値になってしまえば「不安定」ということになるし、逆に０ｄBに近くなれば「安定」と言うことになりますね。

　閉ループTc(jω)のゲインMcは　Mc＝｜Tc(jω)｜　ですから、式（１）を使って、

　Mc＝｜Tc(jω)｜＝　｜Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω))｜　　　（２）

で求められます。ここでGopen(jω)は複素数ですから、実部をu、虚部をｖとすれば、Gopen(jω)は

　Gopen(jω)＝u　+　jv　　　　　（３）

と表せます。式（３）を式（２）に代入して整理して、

　Mc＝｜Tc(jω)｜＝　｜Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω))｜
　　　　　　　　 ＝ (u^2　+　v^2)^(1/2)／(((1 + u)^2 + v^2)^(1/2)) （４）

を得ます。

ここでオープンループのゲインをGo（ｄB）とすると値Moは

　Mo＝10＾(Go／20）　　　　（5）

と計算されますから、Goの位相をθとすれば、実部uと虚部vは

　　u　=　Mo*cosθ　　　（6）
　　v　=　Mo*sinθ　　　（7）

と表されます。

　これで計算の準備が整いましたので計算してみましょう。たとえばある周波数でゲインGoが30ｄBで位相θが－180度のばあいを計算してみましょう。

　式（5）から、　Mo=10^(30／20)＝31.6

次にuとvは式（６）と（７）から、

　u　=　31.6*cos（-180）=　－31.6
v = 31.6*sin(-180) = 0

を得る。この値を式（４）に代入して閉ループのゲインMcを計算すると、

　　Mc　=　 (u^2　+　v^2)^(1/2)／(((1 + u)^2 + v^2)^(1/2))
　　　　=　((-31.6)^2）^(1/2)／(((-30.6)^2)^(1/2))
　　　　=　31.6／30.6　＝　1.03　→　0.279（ｄB)

となります。この値は０ｄBに非常に近い値（３％大きい）です。これは不安定と言えるような値を示していないといえます。この場合オープンゲインがもっと大きくなればMcはもっと１に近づきます。それだけ誤差が少なくなるということを意味します。ですから、オープンゲインが１より大きくてもその値が小さければ位相が-180に近づいた場合は閉ループのゲインの０ｄBに対する誤差は大きくなってしまいます。この点は覚えておいたほうが実戦で役に立ちます。
　また、この計算方法でオープンゲインが０ｄBの時の位相が-180度に近づいた場合の閉ループを計算すれば非常に大きな値が出てきますのでぜひ計算してみてください。

補足

わざわざ具体例を示して頂き誠にありがとうございます。

しかし、もう少しお聞きしたいことがあるのですが、よろしいでしょうか？

私の理解としては開ループにて安定判別するのは閉ループの伝達関数の計算は

開ループに比べ複雑になるためと思っております。

そのため、開ループにてゲインが１以上で１８０度を回る範囲があれば、閉ループゲイン

を計算すればよいとのことですが、それでははじめから、閉ループにて評価したほうが、

２度手間にならないと思ってしまいます（勉強不足にて間違っておりましたら申し訳ありません）。

又、ご教授いただいた具体例では１次の伝達関数でしたが、これは高次の場合でも、

成り立つことなのでしょうか？

以上、ご迷惑とは思いますが、お教えいただけると幸いです。